Esboce a região
compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
e
para
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=−senx e y=cosx no intervalo x∈[0,2π] e calcular sua área. É um problema de área entre curvas usando integrais definidas; vamos precisar achar onde as curvas se cruzam, determinar qual está acima em cada trecho e montar as integrais.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as funções:
Isso dá
Passo 3
Agora analisamos quem está acima em cada subintervalo:
- Em x=0: cos0=1 e −sen0=0, logo cosx fica acima em [0,3π/4].
- Em x=π: cosπ=−1 e −senπ=0, logo −senx fica acima em [3π/4,7π/4].
- Em x=2π: cos2π=1 e −sen2π=0, então cosx volta a ficar acima em [7π/4,2π].
Passo 4
A área total é a soma das três integrais do valor da curva superior menos a inferior:
Calculando as primitivas:
- Para
- Para
Avaliar em cada par de limites e somar:
- De 0 a 3π/4: .
- De 3π/4 a 7π/4: .
- De 7π/4 a 2π: .
Passo 5
Somando esses resultados vem