Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=-sen x e y=cos x para x in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=−sen⁡x e y=cos⁡x no intervalo x∈[0,2π] e calcular sua área. É um problema de área entre curvas usando integrais definidas; vamos precisar achar onde as curvas se cruzam, determinar qual está acima em cada trecho e montar as integrais.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as funções:
cos x = -sin x
Isso dá tan x = -1, cujas soluções em [0,2π] são:
x = tfrac3pi4, tfrac7pi4

Passo 3

Agora analisamos quem está acima em cada subintervalo:
  • Em x=0: cos⁡0=1 e −sen⁡0=0, logo cos⁡x fica acima em [0,3π/4].
  • Em x=π: cos⁡π=−1 e −sen⁡π=0, logo −sen⁡x fica acima em [3π/4,7π/4].
  • Em x=2π: cos⁡2π=1 e −sen⁡2π=0, então cos⁡x volta a ficar acima em [7π/4,2π].

Passo 4

A área total é a soma das três integrais do valor da curva superior menos a inferior:
A=integral0^3pi/4(cos x+sin x),dx+integral3pi/4^7pi/4(-sin x-cos x),dx+integral7pi/4^2pi(cos x+sin x),dx
Calculando as primitivas:
- Para cos x+sin x, usamos sin x-cos x.
- Para -sin x-cos x, usamos cos x-sin x.
Avaliar em cada par de limites e somar:
- De 0 a 3π/4: .
- De 3π/4 a 7π/4: .
- De 7π/4 a 2π: .

Passo 5

Somando esses resultados vem
(raiz2+1)+2raiz2+(raiz2-1)=4raiz2

Resposta

4raiz2

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