Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=x^23 e y=4-23 x^2

Passo 1

O exercício pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=x^23 e y=4-23x^2 e calcular sua área. O conteúdo aqui é área entre duas curvas no plano, e vamos precisar achar onde elas se cruzam (pontos de interseção) e depois usar integração definida da diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
x^23=4-23x^2
Multiplicando tudo por 3, fica
x^2=12-2x^2implies3x^2=12implies x^2=4implies x=pm2

Passo 3

Entre x=-2 e x=2, a curva de cima é y=4-tfrac23x^2 e a de baixo é y=tfracx^23. Assim, a área é
A=integral-2^2l[l(4-tfrac23x^2r)-l(tfracx^23r)r],dx=integral-2^2(4-x^2),dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
integral-2^2(4-x^2),dx=l[4x-x^33r]-2^2 =l(8-tfrac83r)-l(-8+tfrac83r) =163-l(-163r) =323

Resposta

tfrac323

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