Calcule os seguintes limites laterais :
b. \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x+3}{\sqrt{1-x}+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda
\lim_{x\to 1^-}\frac{2x+3}{\sqrt{1-x}+2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão é uma fração com numerador 2x+3 e denominador \sqrt{1-x}+2.
  • O limite é quando x se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, x<1 e tende a 1).
  • A raiz quadrada \sqrt{1-x} exige que 1-x\ge 0; isso é compatível com aproximação pela esquerda.

Passo 2

O que significa limite lateral à esquerda? Significa que avaliamos o comportamento da função quando x toma valores menores que 1 e muito próximos de 1. Escrever \lim_{x\to 1^-} f(x) quer dizer exatamente isso: aproximar x por valores menores.
Relembrando uma propriedade útil de limites (regra do quociente):
Se \lim_{x\to a} g(x)=L e \lim_{x\to a} h(x)=M e M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{L}{M}.
Podemos usar essa propriedade também para limites laterais (trocar \to a por \to a^- quando apropriado), desde que os limites das partes existam e o limite do denominador seja diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular separadamente o limite do numerador quando x\to 1^-:
O numerador é uma função polinomial 2x+3, que é contínua em todo lugar. Para funções contínuas, o limite ao ponto é o valor no ponto, portanto
\lim_{x\to 1^-} (2x+3) = 2\cdot 1 + 3 = 5.
Aqui cada termo é bem definido e usamos a linearidade da função polinomial.

Passo 4

Agora o limite do denominador quando x\to 1^-. O denominador é \sqrt{1-x}+2. Primeiro, quando x\to 1^- temos 1-x\to 0^+, ou seja, o argumento da raiz tende a 0 por valores positivos (pois x<1). A raiz quadrada de algo que tende a 0^+ tende a 0^+. Logo
\lim_{x\to 1^-} \sqrt{1-x} = 0.
Somando 2 (constante), obtemos
\lim_{x\to 1^-} \big(\sqrt{1-x}+2\big) = 0 + 2 = 2.
Observe que esse limite é diferente de zero, então a condição da regra do quociente está satisfeita.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente (Passo 2) com os limites obtidos nos Passos 3 e 4, temos
\lim_{x\to 1^-}\frac{2x+3}{\sqrt{1-x}+2} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to 1^-}(2x+3)}{\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\big(\sqrt{1-x}+2\big)} = \frac{5}{2}.
Não há indeterminação aqui — o numerador tende a 5 e o denominador a 2.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: para x muito próximo de 1 por valores menores, \sqrt{1-x} é um número muito pequeno positivo, então o denominador está muito próximo de 2, e o numerador está muito próximo de 5. Assim a razão fica próxima de 5/2, consistindo com o resultado obtido.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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