Dada a função máximo inteiro definida por
[x]=\max \{n \in \mathbb{Z}: n \leq x\}
analise as seguintes igualdades:
I) \lim _{x \rightarrow 0^{-}}[x]=-1
II) \lim _{x \rightarrow 2^{-}}[x]=2
III) \lim _{x \rightarrow-3^{-}}[x]=-4
IV) \lim _{x \rightarrow-1^{+}}[x]=-2
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2

Passo 1

O enunciado define a função “máximo inteiro” por
[x] = \max\{n \in \mathbb{Z}: n \le x\},
e pede para verificar quais dos limites I, II, III e IV são iguais ao valor indicado. Vamos, em cada caso, aproximar x pelo lado especificado e ver qual é o piso de x.

Passo 2

Analisando I: \lim_{x\to0^-}[x]. Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, fica algo como -0,1, -0,01, etc. Desses valores, o piso (maior inteiro \le x) é sempre -1. Logo
\lim_{x\to0^-}[x] = -1,
o que confirma a igualdade I).

Passo 3

Analisando II: \lim_{x\to2^-}[x]. Aqui x fica, por exemplo, em 1,9, 1,99, etc. O piso de qualquer um desses é 1. Portanto
\lim_{x\to2^-}[x] = 1,
que não é 2. A afirmação II) é falsa.

Passo 4

Analisando III: \lim_{x\to-3^-}[x]. Aproximando-se de -3 pela esquerda, temos valores como -3,1, -3,01, cujo piso é -4. Assim
\lim_{x\to-3^-}[x] = -4,
o que confirma a igualdade III).

Passo 5

Analisando IV: \lim_{x\to-1^+}[x]. Aproximando-se de -1 pela direita, escolhemos x=-0,9, -0,99, etc. Nesses casos o piso é -1. Logo
\lim_{x\to-1^+}[x] = -1,
não -2. A afirmativa IV) é falsa.

Passo 6

Das quatro afirmações, II) e IV) são falsas. Portanto há exatamente 2 itens falsos.

Resposta

(c)

Exercícios relacionados