Considere f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função duas vezes diferenciável. Seja g(t)=f\left(3 t^{2}, e^{2 t}\right). Calcule g^{\prime \prime}(t) em função das derivadas de primeira e segunda ordem de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} duas vezes diferenciável e define uma função de uma variável
g(t)=f\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr).
O que pedem: calcular g''(t) em função das derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A composição tem as coordenadas \,x(t)=3t^{2}\, e \,y(t)=e^{2t}\,.
  • As derivadas de f que aparecerão são as parciais de primeira ordem f_{x}, f_{y} e as segundas parciais f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}.
    Observação importante: todas as derivadas parciais de f devem ser avaliadas no ponto \bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr).

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas de x(t) e y(t) (porque vão entrar na regra da cadeia).
x(t)=3t^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=6t,\quad x''(t)=6.
y(t)=e^{2t}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2e^{2t},\quad y''(t)=4e^{2t}.
Essas fórmulas vêm da diferenciação de potências e da exponencial composta: \dfrac{d}{dt}(3t^{2})=6t, \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}(3t^{2})=6; e \dfrac{d}{dt}(e^{2t})=2e^{2t}, \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}(e^{2t})=4e^{2t}.

Passo 3

Agora a primeira derivada g'(t). Usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se g(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr) então
g'(t)=f_{x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t)+f_{y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).
Aqui f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f. Aplicando aos nossos x(t),y(t),
g'(t)=f_{x}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\cdot 6t \;+\; f_{y}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\cdot 2e^{2t}.
Explicando didaticamente: cada derivada parcial mede a taxa de variação de f em relação a uma coordenada; pela cadeia, a variação total de f ao longo da curva (x(t),y(t)) é a soma das contribuições dessas taxas multiplicadas pelas velocidades x'(t) e y'(t).

Passo 4

Para g''(t) diferenciamos g'(t). Cada termo tem a forma (função dependente de t) vezes (outra função de t), então usaremos a regra do produto. Começamos por notar que a derivada no tempo das derivadas parciais de f é dada pela cadeia novamente:
\frac{d}{dt}\bigl(f_{x}(x(t),y(t))\bigr)=f_{xx}(x(t),y(t))\,x'(t)+f_{xy}(x(t),y(t))\,y'(t),
\frac{d}{dt}\bigl(f_{y}(x(t),y(t))\bigr)=f_{yx}(x(t),y(t))\,x'(t)+f_{yy}(x(t),y(t))\,y'(t).
Como f é duas vezes diferenciável e as segundas parciais são contínuas, vale f_{xy}=f_{yx}.
Agora diferenciamos termo a termo:
\frac{d}{dt}\bigl(f_{x}\,x'\bigr)=\bigl(f_{xx}\,x'+f_{xy}\,y'\bigr)\,x' + f_{x}\,x'',
\frac{d}{dt}\bigl(f_{y}\,y'\bigr)=\bigl(f_{yx}\,x'+f_{yy}\,y'\bigr)\,y' + f_{y}\,y''.
Somando esses dois resultados obtemos
g''(t)=f_{xx}(x,y)\,(x')^{2} + f_{xy}(x,y)\,x'y' + f_{yx}(x,y)\,x'y' + f_{yy}(x,y)\,(y')^{2} + f_{x}(x,y)\,x'' + f_{y}(x,y)\,y''.
Usando f_{xy}=f_{yx} e agrupando,
g''(t)=f_{xx}(x,y)\,(x')^{2} + 2f_{xy}(x,y)\,x'y' + f_{yy}(x,y)\,(y')^{2} + f_{x}(x,y)\,x'' + f_{y}(x,y)\,y'',
onde, para brevidade, (x,y) significa \bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr).
Comentário conceitual: essa forma tem uma interpretação matricial elegante: se \nabla f é o gradiente e H_{f} a matriz Hessiana de f, então
g''(t)=\bigl(r'(t)\bigr)^{\top} H_{f}(r(t))\,r'(t) + \nabla f(r(t))\cdot r''(t),
com r(t)=(x(t),y(t)). Mas a expressão expandida acima é a versão componente a componente, prática em provas.

Passo 5

Finalmente substituímos x'(t)=6t, x''(t)=6, y'(t)=2e^{2t}, y''(t)=4e^{2t} e colocamos as derivadas de f avaliadas em \bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr). Assim obtemos
g''(t)=f_{xx}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\,(6t)^{2} + 2\,f_{xy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\,(6t)\,(2e^{2t}) + f_{yy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\,(2e^{2t})^{2}
\qquad\qquad +\; f_{x}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\cdot 6 \;+\; f_{y}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)\cdot 4e^{2t}.
Podemos simplificar os coeficientes:
(6t)^{2}=36t^{2},\quad 2\cdot(6t)\cdot(2e^{2t})=24t\,e^{2t},\quad (2e^{2t})^{2}=4e^{4t}.
Portanto a forma simplificada é
g''(t)=36t^{2}\,f_{xx}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+24t\,e^{2t}\,f_{xy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+4e^{4t}\,f_{yy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)
\qquad\qquad +\;6\,f_{x}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+4e^{2t}\,f_{y}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr).

Resposta

g''(t)=36t^{2}\,f_{xx}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+24t\,e^{2t}\,f_{xy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+4e^{4t}\,f_{yy}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+6\,f_{x}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr)+4e^{2t}\,f_{y}\bigl(3t^{2},e^{2t}\bigr).

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