Considere
uma função duas vezes diferenciável. Seja
. Calcule
em função das derivadas de primeira e segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
duas vezes diferenciável e define uma função de uma variável
O que pedem: calcular
em função das derivadas parciais de primeira e segunda ordem de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A composição tem as coordenadas
e . - As derivadas de
que aparecerão são as parciais de primeira ordem , e as segundas parciais , , .
Observação importante: todas as derivadas parciais dedevem ser avaliadas no ponto .
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas de
e
(porque vão entrar na regra da cadeia).
Essas fórmulas vêm da diferenciação de potências e da exponencial composta:
,
; e
,
.
Passo 3
Agora a primeira derivada
. Usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis: se
então
Aqui
e
são as derivadas parciais de
. Aplicando aos nossos
,
Explicando didaticamente: cada derivada parcial mede a taxa de variação de
em relação a uma coordenada; pela cadeia, a variação total de
ao longo da curva
é a soma das contribuições dessas taxas multiplicadas pelas velocidades
e
.
Passo 4
Para
diferenciamos
. Cada termo tem a forma (função dependente de
) vezes (outra função de
), então usaremos a regra do produto. Começamos por notar que a derivada no tempo das derivadas parciais de
é dada pela cadeia novamente:
Como
é duas vezes diferenciável e as segundas parciais são contínuas, vale
.
Agora diferenciamos termo a termo:
Somando esses dois resultados obtemos
Usando
e agrupando,
onde, para brevidade,
significa
.
Comentário conceitual: essa forma tem uma interpretação matricial elegante: se
é o gradiente e
a matriz Hessiana de
, então
com
. Mas a expressão expandida acima é a versão componente a componente, prática em provas.
Passo 5
Finalmente substituímos
,
,
,
e colocamos as derivadas de
avaliadas em
. Assim obtemos
Podemos simplificar os coeficientes:
Portanto a forma simplificada é