Considere a função f(x, y)=x^{2} y. Calcule a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}(1,1) em que v é o versor do vetor (1,1). Encontre o vetor que torna a derivada direcional máxima no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y e pede duas coisas:
  • Calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial v}(1,1), onde v é o versor (vetor unitário) na direção de (1,1).
  • Encontrar o vetor que torna a derivada direcional máxima no ponto (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}y.
  • O vetor de direção dado é (1,1); o versor v é esse vetor normalizado (ou seja, dividido pela sua norma).
  • O ponto onde tudo deve ser avaliado é (1,1).

Passo 2

O que é a derivada direcional e como calculá-la (a ideia e a fórmula):
  • Intuitivamente, a derivada direcional de f no ponto P=(x_0,y_0) na direção de um versor u=(u_x,u_y) mede a taxa de variação instantânea de f quando nos movemos a partir de P no sentido de u.
  • Definição via limite (para recordar a ideia):
\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0}\frac{f\big(x_0+t u_x,\;y_0+t u_y\big)-f(x_0,y_0)}{t}.
  • Fórmula prática (mais usada em provas): se \nabla f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) é o gradiente, então
\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u = f_x(x_0,y_0)\,u_x + f_y(x_0,y_0)\,u_y.
Explicação rápida do porquê: parámetrizando a reta t\mapsto (x_0+t u_x, y_0+t u_y) e aplicando a regra da cadeia para g(t)=f(x_0+t u_x,y_0+t u_y) obtém-se g'(0)=f_x u_x+f_y u_y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y (passo a passo):
  • Para a parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{2}y em x.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y\big)=2x\,y.
Explicação: y é constante, derivada de x^2 é 2x, então multiplica-se por y.
  • Para a parcial em relação a y: tratar x como constante.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big)=x^{2}.
Explicação: x^2 é constante, derivada de y é 1.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,1):
  • Usando as fórmulas acima,
f_x(1,1)=2\cdot 1\cdot 1=2,\qquad f_y(1,1)=1^{2}=1.
Logo
\nabla f(1,1)=(2,1).

Passo 5

Calcular o versor v na direção de (1,1):
  • Norma de (1,1) é \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
  • Portanto o versor é
v=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial v}(1,1) usando o produto escalar:
\frac{\partial f}{\partial v}(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot v = (2,1)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Compute termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial v}(1,1)=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.

Passo 7

Encontrar o vetor que torna a derivada direcional máxima (explicação e cálculo):
  • Para um versor u qualquer, \dfrac{\partial f}{\partial u}(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot u.
  • Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz,
\big|\nabla f(1,1)\cdot u\big|\le \|\nabla f(1,1)\|\,\|u\|=\|\nabla f(1,1)\|,
já que \|u\|=1. A igualdade ocorre quando u é paralelo a \nabla f(1,1).
  • Portanto a derivada direcional é máxima quando u tem a mesma direção do gradiente (2,1). O versor nessa direção é
u_{\max}=\frac{\nabla f(1,1)}{\|\nabla f(1,1)\|}=\frac{(2,1)}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
  • (Para referência) o valor máximo da derivada direcional nesse ponto é \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(1,1)=\frac{3}{\sqrt{2}}
\displaystyle \text{o vetor unitário que torna a derivada máxima é }\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)ááé

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