Considere a função f(x, y)=x^{2} y. Calcule a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}(1,1) em que v é o versor do vetor (1,1). Encontre o vetor que torna a derivada direcional máxima no ponto (1,1).
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y e pede duas coisas:
Calcular a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial v}(1,1), onde v é o versor (vetor unitário) na direção de (1,1).
Encontrar o vetor que torna a derivada direcional máxima no ponto (1,1).
Informações relevantes fornecidas:
A função: f(x,y)=x^{2}y.
O vetor de direção dado é (1,1); o versor v é esse vetor normalizado (ou seja, dividido pela sua norma).
O ponto onde tudo deve ser avaliado é (1,1).
Passo 2
O que é a derivada direcional e como calculá-la (a ideia e a fórmula):
Intuitivamente, a derivada direcional de f no ponto P=(x_0,y_0) na direção de um versor u=(u_x,u_y) mede a taxa de variação instantânea de f quando nos movemos a partir de P no sentido de u.
Fórmula prática (mais usada em provas): se \nabla f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) é o gradiente, então
\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u = f_x(x_0,y_0)\,u_x + f_y(x_0,y_0)\,u_y.
Explicação rápida do porquê: parámetrizando a reta t\mapsto (x_0+t u_x, y_0+t u_y) e aplicando a regra da cadeia para g(t)=f(x_0+t u_x,y_0+t u_y) obtém-se g'(0)=f_x u_x+f_y u_y.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y (passo a passo):
Para a parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{2}y em x.
(Para referência) o valor máximo da derivada direcional nesse ponto é \|\nabla f(1,1)\|=\sqrt{5}.
Resposta
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(1,1)=\frac{3}{\sqrt{2}} \displaystyle \text{o vetor unitário que torna a derivada máxima é }\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)ááé