Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função f : A \rightarrow \mathbb{R} em que
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\theta} em que \theta>0 é um número fixado e A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}. (é possível fazer esse sem utilizar os teoremas)

Passo 1

O enunciado dá uma função f\colon A\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\theta},
com \theta>0 fixo, e o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\;:\;x^{2}+y^{2}\le 1\},
ou seja, o disco fechado de raio 1 centrado na origem.
O que se pede: encontrar o valor mínimo e o valor máximo de f em A e os pontos onde esses extremos ocorrem.

Passo 2

Observação-chave: a função f depende apenas de x^{2}+y^{2}, isto é, só do raio ao quadrado. Definindo o raio
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{(então \(r\ge 0\) e, em \(A\), \(0\le r\le 1\))},ã
temos, em termos de r,
f(x,y)=\bigl(r^{2}\bigr)^{\theta}=r^{2\theta}.
Portanto o problema de otimizar f no disco reduz-se a otimizar a função unidimensional
g(r)=r^{2\theta},\qquad 0\le r\le 1.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de g(r)=r^{2\theta} no intervalo [0,1]. Como \theta>0, o expoente 2\theta é positivo. Se tomarmos 0\le r_{1}<r_{2}\le 1, então 0\le r_{1}/r_{2}<1 e, elevando ambos os lados a uma potência positiva, obtemos
\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2\theta}<1.
Multiplicando por r_{2}^{2\theta}>0, segue
r_{1}^{2\theta}<r_{2}^{2\theta}.
Isso prova que g é estritamente crescente em [0,1]. (Outra forma de ver: para r>0, g'(r)=2\theta\,r^{2\theta-1}\ge 0, o que também mostra crescimento; a desigualdade com r=0 fica clara por continuidade.)

Passo 4

Como g é crescente em [0,1], seu mínimo ocorre no menor valor de r do intervalo, que é r=0, e seu máximo ocorre em r=1. Traduzindo de volta para (x,y):
  • Mínimo: r=0 corresponde ao ponto (x,y)=(0,0). Então
\min_{A} f = g(0)=0^{2\theta}=0.
Esse mínimo é único, pois só r=0 dá zero.

Passo 5

  • Máximo: r=1 corresponde à circunferência unitária \{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}. Para qualquer ponto dessa circunferência,
f(x,y)=g(1)=1^{2\theta}=1.
Logo
\max_{A} f = 1,
e o máximo é atingido em todos os pontos do círculo unitário (não é único).

Passo 6

Alguns comentários didáticos rápidos para fixar:
  • Intuição: f só vê a distância ao quadrado até a origem. Como elevar um número em [0,1] a uma potência positiva torna-o menor (ou igual, no caso 1), quanto maior a distância ao centro maior é f. Então os pontos mais afastados (a borda) dão o máximo, o centro dá o mínimo.
  • Exemplos numéricos: se \theta=1, f(x,y)=x^{2}+y^{2}, min 0 em (0,0) e max 1 na borda. Se \theta=\tfrac{1}{2}, f=r^{1} e o raciocínio é o mesmo.

Passo 7

Resumo do método que dá para usar na prova sem teoremas pesados: notar que a função é radial (depende só de r), reduzir a otimização a uma função de uma variável g(r)=r^{2\theta} em [0,1], mostrar que g é (estritamente) crescente porque 2\theta>0, e então avaliar g em r=0 e r=1 para obter mínimo e máximo.

Resposta

Mínimo: \min_{A}f=0 atingido em (0,0).
Máximo: \max_{A}f=1 atingido em todos os pontos com x^{2}+y^{2}=1.

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