Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
em que
é um número fixado e
. (é possível fazer esse sem utilizar os teoremas)
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
com
fixo, e o conjunto
ou seja, o disco fechado de raio
centrado na origem.
O que se pede: encontrar o valor mínimo e o valor máximo de em
e os pontos onde esses extremos ocorrem.
O que se pede: encontrar o valor mínimo e o valor máximo de
Passo 2
Observação-chave: a função
depende apenas de
, isto é, só do raio ao quadrado. Definindo o raio
temos, em termos de
,
Portanto o problema de otimizar
no disco reduz-se a otimizar a função unidimensional
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
no intervalo
. Como
, o expoente
é positivo. Se tomarmos
, então
e, elevando ambos os lados a uma potência positiva, obtemos
Multiplicando por
, segue
Isso prova que
é estritamente crescente em
. (Outra forma de ver: para
,
, o que também mostra crescimento; a desigualdade com
fica clara por continuidade.)
Passo 4
Como
é crescente em
, seu mínimo ocorre no menor valor de
do intervalo, que é
, e seu máximo ocorre em
. Traduzindo de volta para
:
- Mínimo:
corresponde ao ponto . Então
Esse mínimo é único, pois só
dá zero.
Passo 5
- Máximo:
corresponde à circunferência unitária . Para qualquer ponto dessa circunferência,
Logo
e o máximo é atingido em todos os pontos do círculo unitário (não é único).
Passo 6
Alguns comentários didáticos rápidos para fixar:
- Intuição:
só vê a distância ao quadrado até a origem. Como elevar um número em a uma potência positiva torna-o menor (ou igual, no caso ), quanto maior a distância ao centro maior é . Então os pontos mais afastados (a borda) dão o máximo, o centro dá o mínimo. - Exemplos numéricos: se
, , min em e max na borda. Se , e o raciocínio é o mesmo.
Passo 7
Resumo do método que dá para usar na prova sem teoremas pesados: notar que a função é radial (depende só de
), reduzir a otimização a uma função de uma variável
em
, mostrar que
é (estritamente) crescente porque
, e então avaliar
em
e
para obter mínimo e máximo.
Resposta
Mínimo:
atingido em
.
Máximo: atingido em todos os pontos com
.
Máximo: