Encontre os valores máximo e mínimo (e os pontos onde eles ocorrem) da função
:
em que
Passo 1
O enunciado pede os valores máximo e mínimo de
e os pontos onde eles ocorrem. A função dada é
Não foi especificado o conjunto
, então vou assumir o caso padrão:
(ou seja, procurar máximos e mínimos sobre todo o plano). Informações importantes que temos:
-
é um polinômio quadrático em , portanto é contínua e diferenciável em todo . - O objetivo é encontrar pontos críticos (onde o gradiente é zero), classificar esses pontos e determinar se há extremos globais.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar (dois caminhos equivalentes que você pode aplicar na prova):
- Método 1 (cálculo): calcular as derivadas parciais de
, achar o ponto crítico resolvendo e usar a matriz Hessiana para classificar o ponto (mínimo, máximo ou sela). - O gradiente
é o vetor das derivadas parciais: . - Um ponto crítico satisfaz
. - A Hessiana
é a matriz das segundas derivadas. Para duas variáveis, se e então é mínimo local; se e então é máximo local; se é ponto de sela.
- O gradiente
- Método 2 (completar quadrados): reescrever
como soma de quadrados mais uma constante. Isso dá imediatamente o mínimo e mostra se há máximo (por crescimento para infinito).
Vou aplicar ambos: primeiro cálculo dos pontos críticos (método 1), depois completar quadrados para ver de forma direta o mínimo global (método 2).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (aulas rápidas: derivada parcial em
trata
como constante, e vice-versa).
Ponto crítico: resolver
, ou seja
Isso dá
Logo há um único ponto crítico:
.
Passo 4
Classificação pelo Hessiano (explicação rápida do que é): a Hessiana reúne as segundas derivadas para ver a curvatura da função.
Calcular segundas derivadas:
Calcular segundas derivadas:
A Hessiana é a matriz
Determinante:
Como
e
, pelo teste de segunda derivada para funções de duas variáveis o ponto crítico é um mínimo local. Além disso, aqui a Hessiana é constante e positiva definida (ambos autovalores positivos), o que significa que
é uma função estritamente convexa no plano: portanto o mínimo local é também mínimo global e é único.]
Passo 5
Calcular o valor de
no ponto
.
Passo 6
Método alternativo e muito prático (completar quadrados) — isso é ótimo para a prova porque evita a Hessiana e dá o mínimo direto:
Reescrevendo os termos em e
separadamente:
Reescrevendo os termos em
Substituindo em
:
Dessa forma fica claro: os termos quadráticos são sempre
. O menor valor possível ocorre quando ambos quadrados são zero, ou seja em
, e então
. Como os quadrados podem crescer arbitrariamente (quando
ou
aumentam),
cresce para
e não há máximo global.
Resposta
Mínimo global:
no ponto
.
Máximo global: não existe (a função tende a quando
).
Máximo global: não existe (a função tende a