Considere
contínua. Seja
uma (a) primitiva de
tal que
. Mostre que se
é uma função ímpar, então
é uma função par.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e escolhemos uma primitiva
de
tal que
. Precisamos usar conceito de funções pares e ímpares e o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que, se
é ímpar, então
é par.
Passo 2
Vamos lembrar as definições: uma função
é ímpar se
para todo
, e uma função
é par se
para todo
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela condição
, podemos escrever
Agora calculamos
:
Fazemos a mudança de variável
, então quando
temos
e quando
temos
, e
. Logo:
Como
é ímpar,
. Substituindo:
Passo 3
Concluímos que
para todo
, ou seja,
é uma função par.