Considere f: R R contínua. Seja F: R R uma (a) primitiva de f tal que F(0)=0. Mostre que se f é uma função ímpar, então F é uma função par.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f:RtoR e escolhemos uma primitiva F de f tal que F(0)=0. Precisamos usar conceito de funções pares e ímpares e o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que, se f é ímpar, então F é par.

Passo 2

Vamos lembrar as definições: uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x, e uma função F é par se F(-x)=F(x) para todo x.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela condição F(0)=0, podemos escrever
F(x)=integral0^xf(t),dt
Agora calculamos F(-x):
F(-x)=integral0^-xf(t),dt
Fazemos a mudança de variável t=-u, então quando t=0 temos u=0 e quando t=-x temos u= x, e dt=-du. Logo:
F(-x)=integral0^xf(-u)(-du)=-integral0^xf(-u),du
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Substituindo:
F(-x)=-integral0^x[-f(u)],du=integral0^xf(u),du=F(x)

Passo 3

Concluímos que F(-x)=F(x) para todo x, ou seja, F é uma função par.

Resposta

F é par, pois F(-x)=F(x) para todo xinR.

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