Considere f: R R a função dada por f(x)=x^3+4. Utilizando a definição de derivada:
Calcule f^prime(1);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x³+4 no ponto x=1 usando a definição de derivada, que faz parte do conteúdo de limites e derivadas; vamos precisar da fórmula do quociente de diferenças e de manipular polinômios.

Passo 2

A definição de derivada de f em x=1 é dada por f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h

Passo 3

Calcule f(1) e f(1+h). Temos f(1)=1³+4=5 e f(1+h)=(1+h)³+4. Expandindo o cubo: (1+h)³=1+3h+3h²+h³,³²³ logo f(1+h)=5+3h+3h²+h³.

Passo 4

Forme o quociente de diferenças: f(1+h)-f(1)h=(5+3h+3h²+h³)-5h=3h+3h²+h³h=3+3h+h²²³²³²

Passo 5

Tome o limite quando h→0: f'(1)=limhto0(3+3h+h²)=3²

Resposta

f’(1)=3

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