Seja
a função dada por
. Considere um retângulo com um vértice na origem, um vértice sobre o eixo
positivo, um vértice sobre o eixo
positivo, digamos em
, e o quarto vértice sobre o gráfico da função
. Seja
a função que fornece a área do retângulo em termos de
. Dê o domínio da função
. Qual é o retângulo com a maior área possível?
Passo 1
O exercício dá a função
e descreve um retângulo com vértices em
,
,
e
. Precisamos escrever a área desse retângulo como função de
, determinar o domínio dessa função e depois achar o retângulo de área máxima (ou seja, otimizar usando derivadas).
Passo 2
A área do retângulo em função de
é o produto da base pela altura: a base vale
e a altura vale
. Portanto,
Passo 3
Para o retângulo existir no primeiro quadrante, precisamos de
e de
. A condição
dá
Passo 4
Para encontrar o máximo de
em
, calculamos a derivada:
Passo 5
Igualando a zero:
Passo 6
Como a segunda derivada
é negativa para
, esse ponto é um máximo local e, no intervalo dado, também é o máximo global.
Passo 7
No ponto
, a altura do retângulo é
Passo 8
Portanto, o retângulo de maior área tem base
e altura
.
Resposta
O domínio de
é
. O retângulo de área máxima ocorre para
, tendo base
, altura
e área máxima
.