Seja f: R R a função dada por f(x)=13-x^2. Considere um retângulo com um vértice na origem, um vértice sobre o eixo y positivo, um vértice sobre o eixo x positivo, digamos em (x, 0), e o quarto vértice sobre o gráfico da função f. Seja A a função que fornece a área do retângulo em termos de x. Dê o domínio da função A. Qual é o retângulo com a maior área possível?

Passo 1

O exercício dá a função f(x)=13-x^2 e descreve um retângulo com vértices em (0,0), (x,0), (0,f(x)) e (x,f(x)). Precisamos escrever a área desse retângulo como função de x, determinar o domínio dessa função e depois achar o retângulo de área máxima (ou seja, otimizar usando derivadas).

Passo 2

A área do retângulo em função de x é o produto da base pela altura: a base vale x e a altura vale f(x)=13-x^2. Portanto,
A(x)=xcdot(13-x^2)=13x - x^3

Passo 3

Para o retângulo existir no primeiro quadrante, precisamos de x>=0 e de f(x)>=0. A condição f(x)>=0
13-x^2>=0Longrightarrow x^2<=13Longrightarrow 0<= x<=raiz13

Passo 4

Para encontrar o máximo de A(x)=13x - x^3 em [0,raiz13], calculamos a derivada:
A'(x)=13-3x^2

Passo 5

Igualando a zero:
13-3x^2=0Longrightarrow x^2=133Longrightarrow x=raiztfrac133

Passo 6

Como a segunda derivada A''(x)=-6x é negativa para x>0, esse ponto é um máximo local e, no intervalo dado, também é o máximo global.

Passo 7

No ponto x=raiz13/3, a altura do retângulo é
fl(raiztfrac133r)=13-tfrac133=tfrac263

Passo 8

Portanto, o retângulo de maior área tem base raiztfrac133 e altura tfrac263.

Resposta

O domínio de A é [0,raiz13]. O retângulo de área máxima ocorre para x=raiz13/3, tendo base raiz13/3, altura 26/3 e área máxima Amax=tfrac263raiztfrac133.

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