Considere f: R R a função dada por f(x)=x^3+4. Utilizando a definição de derivada:
Calcule f^prime(a).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^3+4 no ponto genérico a usando a definição de derivada. Esse conteúdo é fundamental em cálculo diferencial e usamos a fórmula de limite:
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Substituímos f(x) na definição. Temos f(a+h)=(a+h)^3+4 e f(a)=a^3+4. Então o numerador fica:
f(a+h)-f(a)=(a+h)^3+4-(a^3+4)=(a+h)^3-a^3

Passo 3

Para simplificar, expandimos (a+h)^3:
(a+h)^3=a^3+3a^2h+3ah^2+h^3
Substituindo de volta, o numerador vira:
f(a+h)-f(a)=3a^2h+3ah^2+h^3

Passo 4

Agora dividimos pelo h e simplificamos:
f(a+h)-f(a)h=3a^2h+3ah^2+h^3h=3a^2+3ah+h^2

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite quando hto0:
limhto0(3a^2+3ah+h^2)=3a^2
Assim, pela definição de derivada, obtemos f'(a)=3a^2.

Resposta

f'(a)=3a^2

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