Considere f: R-4 longrightarrow R a função (muito) diferenciável tal que:
  • f(0)=f(3)=0 ;
  • se x in(-infty, 2), então f^prime(x)>0; se x in(2,4) cup(4,+infty), então f^prime(x)>0;
  • se x in(-infty, 1) cup(4,+infty), então f^prime prime(x)>0; se x in(1,4), então f^prime prime(x)<0;
  • lim x -infty f(x)=-3 ; lim x +infty f(x)=0 ; lim x 4^- f(x)=-infty ; lim x 4^+ f(x)=+infty.
    Esboce cuidadosamente circ gráfico de f deixando claramente indicado o uso das informaçöes dadas. Aponte os eventuais pontos extremos (qualificados) e possíveis pontos de inflexão.

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: temos f definida em ℝ{4}, com f(0)=f(3)=0; f′(x)>0 em (–∞,2) e f′(x)<0 em (2,4)∪(4,∞); f″(x)>0 em (–∞,1)∪(4,∞) e f″(x)<0 em (1,4); limites: f(x)→–3 quando x→–∞, f(x)→0 quando x→+∞, f(x)→–∞ quando x→4–, f(x)→+∞ quando x→4+.

Passo 2

Analisando a monotonicidade via f′: como f′>0 em (–∞,2) f cresce até x=2; como f′<0 em (2,4) e em (4,∞), f decresce nessas faixas. Logo em x=2 temos mudança de crescente para decrescente – ponto de máximo local.

Passo 3

Agora a concavidade via f″: em (–∞,1) f″>0 → concavidade para cima; em (1,4) f″<0 → concavidade para baixo; em (4,∞) f″>0 → concava para cima. Assim x=1 é ponto de inflexão (f″ muda de + para –).

Passo 4

Identificamos interceptos e assíntotas: zeros em (0,0) e (3,0); assíntota horizontal y=–3 quando x→–∞; y=0 quando x→+∞; assíntota vertical em x=4; f atinge máximo local em x=2 (valor f(2)>0, não dado explicitamente).

Passo 5

Com tudo isso desenhamos o esboço: ramo à esquerda começando em y≈–3, cresce e inflecte em x=1, atinge máximo em x=2, cruza (3,0) e vai a –∞ em x→4–; salto para +∞ em x→4+, depois decresce com concavidade para cima e se aproxima da assíntota y=0 em +∞.

Resposta

Pontos notáveis: máximo local em x=2; inflexão em x=1; interceptos em (0,0) e (3,0); assíntotas horizontais y=–3 (x→–∞) e y=0 (x→+∞) e vertical x=4. Gráfico desenhado conforme monotonicidade, concavidade e limites acima.

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