Considere
a função (muito) diferenciável tal que:
-
- se
, então
; se
, então
;
- se
, então
; se
, então
;
-
.
Esboce cuidadosamente
gráfico de
deixando claramente indicado o uso das informaçöes dadas. Aponte os eventuais pontos extremos (qualificados) e possíveis pontos de inflexão.
Esboce cuidadosamente
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: temos f definida em ℝ{4}, com f(0)=f(3)=0; f′(x)>0 em (–∞,2) e f′(x)<0 em (2,4)∪(4,∞); f″(x)>0 em (–∞,1)∪(4,∞) e f″(x)<0 em (1,4); limites: f(x)→–3 quando x→–∞, f(x)→0 quando x→+∞, f(x)→–∞ quando x→4–, f(x)→+∞ quando x→4+.
Passo 2
Analisando a monotonicidade via f′: como f′>0 em (–∞,2) f cresce até x=2; como f′<0 em (2,4) e em (4,∞), f decresce nessas faixas. Logo em x=2 temos mudança de crescente para decrescente – ponto de máximo local.
Passo 3
Agora a concavidade via f″: em (–∞,1) f″>0 → concavidade para cima; em (1,4) f″<0 → concavidade para baixo; em (4,∞) f″>0 → concava para cima. Assim x=1 é ponto de inflexão (f″ muda de + para –).
Passo 4
Identificamos interceptos e assíntotas: zeros em (0,0) e (3,0); assíntota horizontal y=–3 quando x→–∞; y=0 quando x→+∞; assíntota vertical em x=4; f atinge máximo local em x=2 (valor f(2)>0, não dado explicitamente).
Passo 5
Com tudo isso desenhamos o esboço: ramo à esquerda começando em y≈–3, cresce e inflecte em x=1, atinge máximo em x=2, cruza (3,0) e vai a –∞ em x→4–; salto para +∞ em x→4+, depois decresce com concavidade para cima e se aproxima da assíntota y=0 em +∞.
Resposta
Pontos notáveis: máximo local em x=2; inflexão em x=1; interceptos em (0,0) e (3,0); assíntotas horizontais y=–3 (x→–∞) e y=0 (x→+∞) e vertical x=4. Gráfico desenhado conforme monotonicidade, concavidade e limites acima.