O enunciado apresenta a equação da onda numa barra semi-infinita (0<x<∞), com condição de Dirichlet em x=0 e condições iniciais de deslocamento e velocidade nulas. O conteúdo é a transformada de Fourier (seno) em x para reduzir a PDE a uma EDO em t.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier seno de u(x,t) por
U(k,t)=raiz2piintegral0^inftyu(x,t),sin(kx),dx
e o inverso por
u(x,t)=raiz2piintegral0^inftyU(k,t),sin(kx),dk
Aplicando na PDE utt=a^2uxx obtemos
partial^2Upartial t^2+(ak)^2U=0
Passo 3
Transformamos a condição inicial de deslocamento:
U(k,0)=raiz2piintegral0^inftyx e^-xsin(kx),dx
Usando a integral conhecida
integral0^inftyx e^-xsin(kx),dx=2k(1+k^2)^2,
segue
U(k,0)=raiz2pi2k(1+k^2)^2,
e a condição de velocidade inicial dá Ut(k,0)=0.
Passo 4
A EDO em t é
Utt+(ak)^2U=0,
com U(k,0)=raiztfrac2pitfrac2k(1+k^2)^2 e Ut(k,0)=0.
A solução é
U(k,t)=U(k,0)cos(a k t)=raiz2pi2k(1+k^2)^2cos(a k t)
Passo 5
Finalmente, usamos a transformada inversa para voltar a u(x,t):
u(x,t)=raiz2piintegral0^inftyU(k,t)sin(kx),dk =4piintegral0^inftyksin(kx)cos(a k t)(1+k^2)^2,dk
Resposta
u(x,t)=4piintegral0^inftyksin(kx)cos(a k t)(1+k^2)^2,dk