Dada a função y=x^2+x+12 x+1, de variável real:
b) Analise o seu comportamento (variação da função/monotonia), indicando os extremos; ( 1,75 valores)

Passo 1

A função dada é uma função racional y=x^2+x+12x+1. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade e extremos, e para isso vamos precisar achar o domínio, calcular a derivada usando a regra do quociente, encontrar os pontos críticos (onde a derivada se anula ou não está definida) e estudar o sinal de y'.

Passo 2

O domínio de y é todo R exceto onde o denominador zera. Como 2x+1=0 implica x=-1/2, temos dom(y)=Rsetminus-1/2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente temos
y'=(2x+1)cdot(2x+1)-(x^2+x+1)cdot2(2x+1)^2=(2x+1)^2-2(x^2+x+1)(2x+1)^2
Simplificando o numerador:
(2x+1)^2-2(x^2+x+1)=4x^2+4x+1-2x^2-2x-2=2x^2+2x-1
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y'=2x^2+2x-1(2x+1)^2

Passo 4

Para achar os pontos críticos, resolvemos 2x^2+2x-1=0, que dá
x=-2pmraiz4+84=-1pmraiz32

Passo 5

Como o denominador de y' é sempre positivo (é um quadrado), o sinal de y' coincide com o sinal de 2x^2+2x-1, uma parábola que abre para cima. Assim y'>0 para x<-1-raiz32 e para x>-1+raiz32, e y'<0 no intervalo intermediário. Levando em conta a descontinuidade em x=-1/2, ficamos com: f é crescente em
( -infty,,tfrac-1-raiz32) e em
(tfrac-1+raiz32,,+infty), e decrescente em
(tfrac-1-raiz32,,-tfrac12) e em
( -tfrac12,,tfrac-1+raiz32).

Passo 6

Nos pontos críticos vemos que em x=-1-raiz32 a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local, e em x=-1+raiz32 muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Calculando os valores:
yl(tfrac-1-raiz32r)=-raiz32, yl(tfrac-1+raiz32r)=raiz32

Resposta

A função é crescente em (-∞, ( -1-√3 )/2) e em (( -1+√3 )/2, ∞), e decrescente em (( -1-√3 )/2, -1/2) e em (-1/2, ( -1+√3 )/2). Há um máximo local em x=( -1-√3 )/2 com valor y=−√3/2 e um mínimo local em x=( -1+√3 )/2 com valor y=√3/2.

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