Dada a função
, de variável real:
b) Analise o seu comportamento (variação da função/monotonia), indicando os extremos; ( 1,75 valores)
b) Analise o seu comportamento (variação da função/monotonia), indicando os extremos; ( 1,75 valores)
Passo 1
A função dada é uma função racional
. O conteúdo aqui é análise de monotonicidade e extremos, e para isso vamos precisar achar o domínio, calcular a derivada usando a regra do quociente, encontrar os pontos críticos (onde a derivada se anula ou não está definida) e estudar o sinal de
.
Passo 2
O domínio de
é todo
exceto onde o denominador zera. Como
implica
, temos
.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente temos
Simplificando o numerador:
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Passo 4
Para achar os pontos críticos, resolvemos
, que dá
Passo 5
Como o denominador de
é sempre positivo (é um quadrado), o sinal de
coincide com o sinal de
, uma parábola que abre para cima. Assim
para
e para
, e
no intervalo intermediário. Levando em conta a descontinuidade em
, ficamos com: f é crescente em
e em
, e decrescente em
e em
.
Passo 6
Nos pontos críticos vemos que em
a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local, e em
muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Calculando os valores:
Resposta
A função é crescente em (-∞, ( -1-√3 )/2) e em (( -1+√3 )/2, ∞), e decrescente em (( -1-√3 )/2, -1/2) e em (-1/2, ( -1+√3 )/2). Há um máximo local em x=( -1-√3 )/2 com valor y=−√3/2 e um mínimo local em x=( -1+√3 )/2 com valor y=√3/2.