a) ache \mathrm{N}(\mathrm{f}), e a dimensão de \mathrm{N}(\mathrm{f}).
b) ache \operatorname{Im}(\mathrm{f}), e a dimensão de \operatorname{Im}(\mathrm{f}).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear f: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
f(x,y,z)=(z,\;x-y,\;-z).
Pede-se:
(a) encontrar \mathrm{N}(f) (o núcleo ou espaço nulo de f) e a dimensão de \mathrm{N}(f);
(b) encontrar \mathrm{Im}(f) (a imagem ou alcance de f) e a dimensão de \mathrm{Im}(f).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de f aplicada a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.
Passo 2
O que é \mathrm{N}(f)\) e como calculá-la aqui (explicação didática): \(\mathrm{N}(f)\) é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero pelo operador \(f\). Ou seja, resolvemos a equação
\[f(x,y,z)=(0,0,0).
Usando a definição de f, isso equivale ao sistema de equações:
\begin{cases} z = 0,\\[4pt] x - y = 0,\\[4pt] -\,z = 0. \end{cases}
Explicando passo a passo: a primeira e a terceira linha dizem a mesma coisa (z=0\]). A segunda linha diz que \(x=y. Portanto todos os vetores no núcleo têm a forma
Simplificação e independência linear (determinando a dimensão): observando os três vetores geradores,
(0,-1,0) = -1\cdot(0,1,0),
ou seja a segunda coluna é múltiplo da primeira, logo é redundante. Restam os vetores (0,1,0) e (1,0,-1). Verificamos que eles são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo do outro (um tem primeira componente zero, o outro tem primeira componente não nula). Assim uma base para \mathrm{Im}(f) é