Considere f: R^{3} \rightarrow R^{3} linear
f(x, y, z)=(z, x-y,-z)
a) ache \mathrm{N}(\mathrm{f}), e a dimensão de \mathrm{N}(\mathrm{f}).
b) ache \operatorname{Im}(\mathrm{f}), e a dimensão de \operatorname{Im}(\mathrm{f}).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear f: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
f(x,y,z)=(z,\;x-y,\;-z).
Pede-se:
  • (a) encontrar \mathrm{N}(f) (o núcleo ou espaço nulo de f) e a dimensão de \mathrm{N}(f);
  • (b) encontrar \mathrm{Im}(f) (a imagem ou alcance de f) e a dimensão de \mathrm{Im}(f).
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de f aplicada a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3.

Passo 2

O que é \mathrm{N}(f)\) e como calculá-la aqui (explicação didática): \(\mathrm{N}(f)\) é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero pelo operador \(f\). Ou seja, resolvemos a equação \[f(x,y,z)=(0,0,0).
Usando a definição de f, isso equivale ao sistema de equações:
\begin{cases} z = 0,\\[4pt] x - y = 0,\\[4pt] -\,z = 0. \end{cases}
Explicando passo a passo: a primeira e a terceira linha dizem a mesma coisa ( z=0\]). A segunda linha diz que \(x=y. Portanto todos os vetores no núcleo têm a forma
(x,y,z)=(t,t,0)\quad\text{com }t\in\mathbb{R}.
Em linguagem de espaços gerados, isso é
\mathrm{N}(f)=\{(t,t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,0)\}.
A dimensão de \mathrm{N}(f) é o número de vetores de uma base do núcleo; aqui uma base é \{(1,1,0)\}, logo
\dim\mathrm{N}(f)=1.]

Passo 3

Agora vamos achar \mathrm{Im}(f). Método prático: aplicar f aos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3,
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1),
pois a imagem é o subespaço gerado pelas colunas da matriz de f (ou equivalentemente pelos f(e_i)). Calculamos:
f(e_1)=f(1,0,0)=(0,1,0),
f(e_2)=f(0,1,0)=(0,-1,0),
f(e_3)=f(0,0,1)=(1,0,-1).
Portanto as colunas (vectores geradores da imagem) são (0,1,0), (0,-1,0) e (1,0,-1). Logo
\mathrm{Im}(f)=\mathrm{span}\{(0,1,0),\,(0,-1,0),\,(1,0,-1)\}.

Passo 4

Simplificação e independência linear (determinando a dimensão): observando os três vetores geradores,
(0,-1,0) = -1\cdot(0,1,0),
ou seja a segunda coluna é múltiplo da primeira, logo é redundante. Restam os vetores (0,1,0) e (1,0,-1). Verificamos que eles são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo do outro (um tem primeira componente zero, o outro tem primeira componente não nula). Assim uma base para \mathrm{Im}(f) é
\{(0,1,0),\;(1,0,-1)\}.
Portanto
\mathrm{Im}(f)=\mathrm{span}\{(1,0,-1),\,(0,1,0)\}.
Uma descrição alternativa, mais direta, é escrever um vetor genérico da imagem como combinação linear desses dois vetores:
\alpha(1,0,-1)+\beta(0,1,0)=(\alpha,\beta,-\alpha).
Logo
\mathrm{Im}(f)=\{(a,b,-a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}.
A dimensão da imagem é o número de vetores da base escolhida, isto é
\dim\mathrm{Im}(f)=2.

Passo 5

Checagem rápida com o teorema posto-nulo (rank-nullity): para uma aplicação linear de \mathbb{R}^3 valem
\dim\mathbb{R}^3=\dim\mathrm{N}(f)+\dim\mathrm{Im}(f).
Aqui 3=1+2, o que confirma consistência dos resultados.

Resposta

\mathrm{N}(f)=\{(t,t,0)\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,1,0)\},\\ \dim\mathrm{N}(f)=1
\mathrm{Im}(f)=\{(a,b,-a)\mid a,b\in\mathbb{R}\}=\mathrm{span}\{(1,0,-1),(0,1,0)\},\\ \dim\mathrm{Im}(f)=2

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