Verifique se a aplicação F: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por F(x, y, z)=(2 z, x+2 y) é linear.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(x,y,z)=(2z,\;x+2y).
O que é pedido: verificar se F é linear (ou seja, responder se a transformação satisfaz as propriedades de linearidade).
Informações fornecidas:
Domínio: \mathbb{R}^{3}.
Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
Regra de atribuição: a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} associa-se o vetor (2z,\;x+2y)\in\mathbb{R}^{2}.
Passo 2
Definição prática de linearidade (o que vou testar): uma aplicação T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{n} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores (cada componente é um número real) e c é um número real. Vou verificar essas duas propriedades para F.
Comentário adicional (útil para prova): muitas vezes é rápido ver linearidade escrevendo F como multiplicação por uma matriz. A matriz A associada à F (coeficientes por coluna) é
Como multiplicação por matriz é sempre uma transformação linear, essa é outra maneira curta e segura de confirmar a linearidade (bom para lembrar na prova).]
Passo 6
Dica prática para a prova (como executar rápido): ao ver uma aplicação dada por expressões lineares nas componentes (cada componente saída é combinação linear das entradas sem termos constantes ou produtos entre variáveis), isso já é um sinal forte de linearidade. Teste rápido: verificar F(0)=0 (substituir (0,0,0)) e uma das propriedades ajuda, mas o jeito formal é checar aditividade e homogeneidade como fiz acima. Um exemplo numérico ilustrativo: com u=(1,0,2) e v=(0,1,1),
F(u)=(2\cdot2,\;1+2\cdot0)=(4,1),
F(v)=(2\cdot1,\;0+2\cdot1)=(2,2),
F(u+v)=F(1,1,3)=(2\cdot3,\;1+2\cdot1)=(6,3),
e de fato F(u)+F(v)=(4,1)+(2,2)=(6,3), mostrando concretamente a aditividade nesse exemplo.