Verifique se a aplicação F: R^{3} \rightarrow R^{2} definida por F(x, y, z)=(2 z, x+2 y) é linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
F(x,y,z)=(2z,\;x+2y).
O que é pedido: verificar se F é linear (ou seja, responder se a transformação satisfaz as propriedades de linearidade).
Informações fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra de atribuição: a um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} associa-se o vetor (2z,\;x+2y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Definição prática de linearidade (o que vou testar): uma aplicação T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{n} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui u e v são vetores (cada componente é um número real) e c é um número real. Vou verificar essas duas propriedades para F.

Passo 3

Verificação da aditividade. Tome
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
vectores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando F ao somatório, usando a regra dada:
F(u+v)=F(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
\phantom{F(u+v)}=\bigl(2(z_1+z_2),\;(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)\bigr).
Agora distribui-se a soma dentro das componentes:
F(u+v)=\bigl(2z_1+2z_2,\;x_1+2y_1 + x_2+2y_2\bigr).
Mas isso é exatamente
\bigl(2z_1,\;x_1+2y_1\bigr) + \bigl(2z_2,\;x_2+2y_2\bigr) =F(u)+F(v).
Portanto a propriedade F(u+v)=F(u)+F(v) vale (mostrei passo a passo como as componentes se combinam).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Tome um escalar c\in\mathbb{R} e um vetor u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Então
c\,u=(c x,\;c y,\;c z).
Aplicando F:
F(cu)=F(c x,\;c y,\;c z)=\bigl(2(c z),\;c x + 2(c y)\bigr).
Fatorando c nas componentes:
F(cu)=\bigl(c(2z),\;c(x+2y)\bigr)=c\bigl(2z,\;x+2y\bigr)=c\,F(u).
Assim a propriedade F(cu)=c\,F(u) também vale.

Passo 5

Comentário adicional (útil para prova): muitas vezes é rápido ver linearidade escrevendo F como multiplicação por uma matriz. A matriz A associada à F (coeficientes por coluna) é
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Para (x,y,z)^\top\in\mathbb{R}^3 tem-se
A\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0&2\\[3pt]1&2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2z\\[4pt] x+2y\end{pmatrix}=F(x,y,z).
Como multiplicação por matriz é sempre uma transformação linear, essa é outra maneira curta e segura de confirmar a linearidade (bom para lembrar na prova).]

Passo 6

Dica prática para a prova (como executar rápido): ao ver uma aplicação dada por expressões lineares nas componentes (cada componente saída é combinação linear das entradas sem termos constantes ou produtos entre variáveis), isso já é um sinal forte de linearidade. Teste rápido: verificar F(0)=0 (substituir (0,0,0)) e uma das propriedades ajuda, mas o jeito formal é checar aditividade e homogeneidade como fiz acima. Um exemplo numérico ilustrativo: com u=(1,0,2) e v=(0,1,1),
F(u)=(2\cdot2,\;1+2\cdot0)=(4,1),
F(v)=(2\cdot1,\;0+2\cdot1)=(2,2),
F(u+v)=F(1,1,3)=(2\cdot3,\;1+2\cdot1)=(6,3),
e de fato F(u)+F(v)=(4,1)+(2,2)=(6,3), mostrando concretamente a aditividade nesse exemplo.

Resposta

Sim, F é linear.

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