Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado.
r(t)=(t-cos t) i+(3+2 sen t) j+(1+3 cos t) k, no ponto em que t=pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente e o plano normal para a curva dada no ponto onde $ t = \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e derivadas, que ajudam a encontrar a direção da reta tangente. Vamos começar identificando o ponto na curva correspondente a $ t = \frac{\pi}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{2} $. A curva é definida por:
t = pi2
Substituindo $ t = \frac{\pi}{2} $:
r(t) = (t - cos t) i + (3 + 2 sin t) j + (1 + 3 cos t) k
t = pi2
x = pi2 - cos(pi2) = pi2 - 0 = pi2
Então, o ponto é $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor derivada da curva, que nos dá a direção da reta tangente. Derivamos cada componente de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $:
r(t)
Calculando as derivadas:
t
r'(t) = ddt(t - cos t) i + ddt(3 + 2 sin t) j + ddt(1 + 3 cos t) k
ddt(t - cos t) = 1 + sin t
Então, temos:
ddt(3 + 2 sin t) = 2 cos t

Passo 4

Agora, vamos avaliar $ \mathbf{r}’(t) $ no ponto $ t = \frac{\pi}{2} $:
r'(t)
Calculando os valores trigonométricos:
t = pi2
Então:
r'(pi2) = (1 + sin(pi2)) i + 2 cos(pi2) j - 3 sin(pi2) k
Esse é o vetor tangente à curva no ponto $ P $.

Passo 5

Com o ponto $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ e o vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $, podemos escrever a equação da reta tangente. A forma paramétrica da reta é:
P(pi2,, 5,, 1)
Substituindo os valores:
v = 2 i - 3 k
Ou, separadamente:
rtan>=nte(s) = P + s v
rtan>=nte(s) = (pi2,, 5,, 1) + s (2,, 0,, -3)
x = pi2 + 2s

Passo 6

Agora, vamos achar o plano normal à curva no ponto $ P $. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente. A equação geral de um plano com normal $ \mathbf{n} = (A, B, C) $ e passando pelo ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
P
Aqui, o vetor normal é o vetor tangente $ \mathbf{v} = (2, 0, -3) $, e $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ é o ponto no plano. Substituindo:
n = (A, B, C)
Simplificando:
(x0, y0, z0)
Ou reorganizando:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Resposta

A reta tangente à curva no ponto $ \left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ é dada por:
(pi2,, 5,, 1)
E o plano normal à curva nesse ponto é:
x = pi2 + 2s y = 5 z = 1 - 3s

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