Determine a reta tangente e o plano normal a cada curva no ponto indicado.
, no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a reta tangente e o plano normal para a curva dada no ponto onde $ t = \frac{\pi}{2} $. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores e derivadas, que ajudam a encontrar a direção da reta tangente. Vamos começar identificando o ponto na curva correspondente a $ t = \frac{\pi}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = \frac{\pi}{2} $. A curva é definida por:
Substituindo $ t = \frac{\pi}{2} $:
Então, o ponto é $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor derivada da curva, que nos dá a direção da reta tangente. Derivamos cada componente de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $:
Calculando as derivadas:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos avaliar $ \mathbf{r}’(t) $ no ponto $ t = \frac{\pi}{2} $:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:
Esse é o vetor tangente à curva no ponto $ P $.
Passo 5
Com o ponto $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ e o vetor tangente $ \mathbf{v} = 2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{k} $, podemos escrever a equação da reta tangente. A forma paramétrica da reta é:
Substituindo os valores:
Ou, separadamente:
Passo 6
Agora, vamos achar o plano normal à curva no ponto $ P $. O plano normal é aquele que é perpendicular ao vetor tangente. A equação geral de um plano com normal $ \mathbf{n} = (A, B, C) $ e passando pelo ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
Aqui, o vetor normal é o vetor tangente $ \mathbf{v} = (2, 0, -3) $, e $ P\left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ é o ponto no plano. Substituindo:
Simplificando:
Ou reorganizando:
Resposta
A reta tangente à curva no ponto $ \left(\frac{\pi}{2},, 5,, 1\right) $ é dada por:
E o plano normal à curva nesse ponto é: