Passo 1
O enunciado fornece um sistema de equações diferenciais ordinárias:
O que se pede implicitamente é encontrar a solução geral
do sistema (isto é, todas as funções
e
que satisfazem as duas equações para todo
).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Duas equações de 1.º grau em
e com coeficientes constantes. - Não foram fornecidas condições iniciais, então vamos buscar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Organizar o sistema em forma matricial é útil. Definindo o vetor
o sistema pode ser escrito como
onde a matriz de coeficientes
é
Explicação do porquê: multiplicando
obtém-se a primeira linha
e a segunda linha
, que coincidem com as derivadas dadas.]
Passo 3
Para resolver
usamos o método de autovalores/autovetores: procuramos escalares
e vetores não nulos
tais que
Os
satisfazem o polinômio característico
. Calculamos:
Expandindo:
Então o polinômio característico é
, cuja solução dá os autovalores:
Passo 4
Agora encontramos um autovetor associado a
. Resolvemos
, isto é
A primeira equação dá
Escolhendo
(podemos escalar o autovetor), obtemos um autovetor conveniente
Passo 5
Para
repetimos: resolvemos
, ou
Da primeira equação:
Escolhendo
obtemos outro autovetor
Passo 6
Como temos dois autovalores reais distintos e autovetores linearmente independentes, a solução geral da equação matricial é
onde
e
são constantes reais arbitrárias (determinar-se-iam se houvesse condições iniciais). Escrevendo as componentes explicitamente:
Explicação breve: cada autovetor gera uma solução exponencial
; a combinação linear das duas gerações dá a solução geral porque o espaço de soluções tem dimensão 2.
Passo 7
Verificação alternativa (útil para prova): eliminando
obtém-se uma equação de segunda ordem para
. Diferenciando
temos
Substituindo
e
obtemos
Logo
A equação característica é
com raízes
, de onde
, coincidente com o resultado anterior. Em seguida
vem por
(rearranjando a primeira equação), que devolve a expressão de
já encontrada.
Passo 8
Interpretação do comportamento temporal: como há um autovalor positivo
, soluções genéricas crescem exponencialmente no sentido da componente associada a
; o outro autovalor negativo gera uma componente decrescente. Trajetórias no plano
seguem combinações dessas direções.