Considere se
se
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Calcule a transformada de Laplace de
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Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f(t) $ que é igual a zero para $ t < \pi $ e igual a $ 3\cos(t) $ para $ t \geq \pi $. Nosso objetivo aqui é calcular a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar saber como lidar com funções definidas por partes e utilizar a fórmula da transformada de Laplace para funções que começam em um certo ponto no tempo, usando a função degrau unitário.
Passo 2
Primeiro, a gente pode reescrever a função $ f(t) $ usando a função degrau unitário $ u(t - a) $, que é igual a zero para $ t < a $ e igual a 1 para $ t \geq a $. Assim, $ f(t) $ fica:
Isso ajuda porque a transformada de Laplace lida bem com funções multiplicadas por $ u(t - a) $.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por $ u(t - a) $:
No nosso caso, $ f(t) = 3\cos(t) $ e $ a = \pi $. Então, precisamos calcular a transformada de $ 3\cos(t) $ e multiplicar por $ e^{-\pi s} $.
Passo 4
Sabemos que a transformada de Laplace de $ \cos(t) $ é:
Como temos $ 3\cos(t) $, a transformada será três vezes essa:
Passo 5
Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3, multiplicamos a transformada de $ 3\cos(t) $ por $ e^{-\pi s} $:
Resposta
Assim, a transformada de Laplace de $ f(t) $ é: