Mostrar que Lsin t-t cos t=2(s^2+1)^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace da função $ \sin t - t \cos t $ é igual a $ \frac{2}{\left(s{2}+1\right){2}} $. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas básicas da matéria.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a transformada de Laplace de $ \sin t $ é conhecida. A fórmula básica é:
sin t
Isso significa que aplicando a transformada de Laplace na função seno, obtemos essa expressão.

Passo 3

Agora, precisamos transformar a segunda parte da função, que é $ t \cos t $. Para isso, usamos uma propriedade das transformadas de Laplace que diz:
t cos t
No nosso caso, $ f(t) = \cos t $. Sabemos que:
Lt f(t) = -ddsLf(t)
Então, aplicando a propriedade:
f(t) = cos t

Passo 4

Vamos calcular a derivada:
dds( ss^2 + 1 ) = (1)(s^2 + 1) - s(2s)(s^2 + 1)^2 = s^2 + 1 - 2s^2(s^2 + 1)^2 = 1 - s^2(s^2 + 1)^2
Portanto:
Lt cos t = -1 - s^2(s^2 + 1)^2 = s^2 - 1(s^2 + 1)^2

Passo 5

Agora, voltamos à função original $ \sin t - t \cos t $ e aplicamos a transformada de Laplace em cada parte:
sin t - t cos t

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
1s^2 + 1 = s^2 + 1(s^2 + 1)^2
Então:
s^2 + 1(s^2 + 1)^2 - s^2 - 1(s^2 + 1)^2 = (s^2 + 1) - (s^2 - 1)(s^2 + 1)^2 = 2(s^2 + 1)^2

Resposta

Portanto, mostramos que:
Lsin t - t cos t = 2(s^2+1)^2

Exercícios relacionados