Mostrar que
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace da função $ \sin t - t \cos t $ é igual a $ \frac{2}{\left(s{2}+1\right){2}} $. Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades das transformadas de Laplace e algumas fórmulas básicas da matéria.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a transformada de Laplace de $ \sin t $ é conhecida. A fórmula básica é:
Isso significa que aplicando a transformada de Laplace na função seno, obtemos essa expressão.
Passo 3
Agora, precisamos transformar a segunda parte da função, que é $ t \cos t $. Para isso, usamos uma propriedade das transformadas de Laplace que diz:
No nosso caso, $ f(t) = \cos t $. Sabemos que:
Então, aplicando a propriedade:
Passo 4
Vamos calcular a derivada:
Portanto:
Passo 5
Agora, voltamos à função original $ \sin t - t \cos t $ e aplicamos a transformada de Laplace em cada parte:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Então:
Resposta
Portanto, mostramos que: