Considere f(x)=1+2 e^x com o domínio na região em que 0 <= x <= 1
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de f(x) em torno do eixo x.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = 1 + 2e^{x} $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 1 $. Precisamos encontrar o volume do sólido gerado ao girar essa função em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método de volumes por revolução, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que quando giramos uma curva em torno do eixo $ x $, o volume do sólido formado pode ser calculado usando a integral de $ \pi [f(x)]^2 $ de $ a $ até $ b $, onde $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo. A fórmula é:
x
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
f(x)
Antes de integrar, vamos expandir o termo ao quadrado para facilitar o cálculo.

Passo 4

Expandindo $ (1 + 2e{x})2 $:
(1 + 2e^x)^2
Então, a integral fica:
(1 + 2e^x)^2 = 1 + 4e^x + 4e^2x

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 1 , dx = x |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 4e^x , dx = 4e^x |0^1 = 4e^1 - 4e^0 = 4e - 4
integral0^1 4e^2x , dx = 42e^2x |0^1 = 2e^2 - 2e^0 = 2e^2 - 2

Passo 6

Somando todos os resultados das integrais:
V = pi (1 + (4e - 4) + (2e^2 - 2)) = pi (2e^2 + 4e -5)

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ V = \pi (2e^{2} + 4e -5) $, que aproximadamente é $ V \approx 64{,}73 $ unidades cúbicas.

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