Considere
com o domínio na região em que
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
em torno do eixo
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x) = 1 + 2e^{x} $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq 1 $. Precisamos encontrar o volume do sólido gerado ao girar essa função em torno do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método de volumes por revolução, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que quando giramos uma curva em torno do eixo $ x $, o volume do sólido formado pode ser calculado usando a integral de $ \pi [f(x)]^2 $ de $ a $ até $ b $, onde $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo. A fórmula é:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
Antes de integrar, vamos expandir o termo ao quadrado para facilitar o cálculo.
Passo 4
Expandindo $ (1 + 2e{x})2 $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Somando todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ V = \pi (2e^{2} + 4e -5) $, que aproximadamente é $ V \approx 64{,}73 $ unidades cúbicas.