Resolva o seguinte PVI pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução. Precisamos identificar a parte homogênea da equação e a parte não homogênea para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
Então,
Passo 5
Com as raízes $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = 1 $, a solução geral da parte homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio da mesma forma:
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 8
Substituímos $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação diferencial:
Simplificando:
Reorganizando os termos:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para os termos com $ t $:
Para os termos constantes:
Substituindo $ A = \frac{3}{2} $:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
Substituindo $ t = 0 $:
Simplificando:
Segunda condição: $ y’(0) = 2 $
Primeiro, vamos encontrar $ y’(t) $:
Substituindo $ t = 0 $:
Simplificando:
Passo 13
Agora, temos um sistema de equações:
- $ C_1 + C_2 = -\frac{13}{4} $
- $ 2C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituindo $ C_1 = \frac{15}{4} $ na primeira equação:
Passo 14
Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é: