Resolva o seguinte PVI pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=3 t+8-4, y(0)=1, y^prime(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução. Precisamos identificar a parte homogênea da equação e a parte não homogênea para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
y'' - 3y' + 2y = 3t + 8 - 4
Vamos simplificar o lado direito:
3t + 8 - 4 = 3t + 4
Então, a equação fica:
y'' - 3y' + 2y = 3t + 4

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática:
r^2 - 3r + 2 = 0
Calculamos o discriminante:
De
Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais e distintas:
r = 3 pm raiz12 = 3 pm 12
Então,
r1 = 2 e r2 = 1

Passo 5

Com as raízes $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = 1 $, a solução geral da parte homogênea é:
r1 = 2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa:
yp(t)
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio da mesma forma:
y'' - 3y' + 2y = 3t + 4
Onde $ A $ e $ B $ são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A

Passo 8

Substituímos $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação diferencial:
yp(t)
Simplificando:
yp'(t)
Reorganizando os termos:
yp''(t)

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para os termos com $ t $:
t
Para os termos constantes:
2A = 3 Rightarrow A = 32
Substituindo $ A = \frac{3}{2} $:
-3A + 2B = 4
A = 32
-3 times 32 + 2B = 4
-92 + 2B = 4

Passo 10

Então, a solução particular é:
yp(t) = 32 t + 174

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da parte homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^2t + C2 e^t + 32 t + 174

Passo 12

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
Substituindo $ t = 0 $:
C1
Simplificando:
C2
y(0) = 1
Segunda condição: $ y’(0) = 2 $
Primeiro, vamos encontrar $ y’(t) $:
t = 0
Substituindo $ t = 0 $:
1 = C1 e^0 + C2 e^0 + 32 times 0 + 174
Simplificando:
1 = C1 + C2 + 0 + 174
C1 + C2 = 1 - 174 = -134

Passo 13

Agora, temos um sistema de equações:
  1. $ C_1 + C_2 = -\frac{13}{4} $
  2. $ 2C_1 + C_2 = \frac{1}{2} $
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
C1 + C2 = -134
2C1 + C2 = 12
Agora, substituindo $ C_1 = \frac{15}{4} $ na primeira equação:
(2C1 + C2) - (C1 + C2) = 12 - ( -134 )
C1 = 12 + 134 = 24 + 134 = 154

Passo 14

Finalmente, substituímos $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução geral:
C1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 154 e^2t - 7 e^t + 32 t + 174

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