Resolva o seguinte PVI:
Analise o comportamento da solução quando
e quando
.
Analise o comportamento da solução quando
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Além disso, são dadas condições iniciais em $ t = \pi $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações homogêneas e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Também vamos analisar como a solução se comporta quando $ t $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.
Passo 2
Primeiro, a gente identifica a equação diferencial dada:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica vem substituindo $ x $ por $ e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante. Fazendo isso, a equação característica fica:
Agora, vamos resolver essa equação de segundo grau para encontrar os valores de $ r $.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Obtemos raízes complexas $ r = -2 \pm i $, onde $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
As condições iniciais dadas são:
Vamos aplicar $ t = \pi $ na solução geral para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 7
Primeiro, calculamos $ x(\pi) $:
Sabendo que $ \cos \pi = -1 $ e $ \sin \pi = 0 $, temos:
Isso implica que $ A = 0 $.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada $ x’(t) $:
Substituindo $ A = 0 $ e $ t = \pi $:
Portanto, $ B = 2e^{2\pi} $.
Passo 9
Agora que temos $ A = 0 $ e $ B = 2e^{2\pi} $, substituímos de volta na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é:
Quanto ao comportamento da solução:
- Quando $ t \rightarrow +\infty $, $ e^{-2t} $ tende a zero, fazendo com que $ x(t) $ também tenda a zero.
- Quando $ t \rightarrow -\infty $, $ e^{-2t} $ cresce sem limite, então $ x(t) $ tende a infinito, oscilando devido ao termo $ \sin t $.