Resolva o seguinte PVI:
x^prime prime+4 x^prime+5 x=0, x(pi)=0, x^prime(pi)=4-6
Analise o comportamento da solução quando t +infty e quando t -infty.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Além disso, são dadas condições iniciais em $ t = \pi $. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações homogêneas e aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes. Também vamos analisar como a solução se comporta quando $ t $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica a equação diferencial dada:
x'' + 4x' + 5x = 0
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica vem substituindo $ x $ por $ e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante. Fazendo isso, a equação característica fica:
x
Agora, vamos resolver essa equação de segundo grau para encontrar os valores de $ r $.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r = -4 pm raiz16 - 202 = -4 pm raiz-42 = -2 pm i
Obtemos raízes complexas $ r = -2 \pm i $, onde $ i $ é a unidade imaginária.

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = e^-2t(A cos t + B sin t)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

As condições iniciais dadas são:
x(pi) = 0 e x'(pi) = -2
Vamos aplicar $ t = \pi $ na solução geral para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 7

Primeiro, calculamos $ x(\pi) $:
x(pi)
Sabendo que $ \cos \pi = -1 $ e $ \sin \pi = 0 $, temos:
0 = e^-2pi(A cos pi + B sin pi)
Isso implica que $ A = 0 $.

Passo 8

Agora, calculamos a derivada $ x’(t) $:
x'(t)
Substituindo $ A = 0 $ e $ t = \pi $:
x'(t) = e^-2t(-2)(A cos t + B sin t) + e^-2t(-A sin t + B cos t)
Portanto, $ B = 2e^{2\pi} $.

Passo 9

Agora que temos $ A = 0 $ e $ B = 2e^{2\pi} $, substituímos de volta na solução geral:
A = 0
Simplificando:
B = 2e^2pi

Resposta

A solução do PVI é:
x(t) = 2e^2pi - 2t sin t
Quanto ao comportamento da solução:
  • Quando $ t \rightarrow +\infty $, $ e^{-2t} $ tende a zero, fazendo com que $ x(t) $ também tenda a zero.
  • Quando $ t \rightarrow -\infty $, $ e^{-2t} $ cresce sem limite, então $ x(t) $ tende a infinito, oscilando devido ao termo $ \sin t $.

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