Considere
com o domínio na região em que
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
em torno do eixo
.
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar a curva $ f(x) = 1 + 2e^{x} $ em torno do eixo $ y $, no intervalo onde $ 0 \leq x \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros, também conhecido como método das cascas cilíndricas, que é perfeito para rotações em torno do eixo $ y $ quando a função está em termos de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos cilindros. A ideia é imaginar o sólido como uma série de cilindros infinitamente finos empilhados. A fórmula para calcular o volume usando esse método é:
Aqui, $ x $ é a distância do cilindro ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura do cilindro.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, pois estamos trabalhando no intervalo de $ x $ de 0 a 1.
Passo 4
Agora, substituímos a função $ f(x) $ na fórmula. Assim, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 6
Vamos resolver a integral separadamente:
-
é uma integral básica que resulta em . -
requer o uso da integração por partes, onde escolhemos $ u = x $ e $ dv = 2e^{x} dx $. Assim: - $ du = dx $
- $ v = 2e^{x} $
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral total:
Passo 8
Vamos calcular os valores nos limites $ x = 1 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Subtraindo:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 5\pi $ unidades cúbicas.