Considere f(x)=1+2 e^x com o domínio na região em que 0 <= x <= 1
Determine o volume do sólido de revolução obtido pelo giro de f(x) em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido formado ao girar a curva $ f(x) = 1 + 2e^{x} $ em torno do eixo $ y $, no intervalo onde $ 0 \leq x \leq 1 $. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros, também conhecido como método das cascas cilíndricas, que é perfeito para rotações em torno do eixo $ y $ quando a função está em termos de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos cilindros. A ideia é imaginar o sólido como uma série de cilindros infinitamente finos empilhados. A fórmula para calcular o volume usando esse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, $ x $ é a distância do cilindro ao eixo de rotação (no caso, o eixo $ y $), e $ f(x) $ é a altura do cilindro.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, pois estamos trabalhando no intervalo de $ x $ de 0 a 1.

Passo 4

Agora, substituímos a função $ f(x) $ na fórmula. Assim, temos:
f(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
V = 2pi integral0^1 (x + 2x e^x) , dx
Isso separa a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 6

Vamos resolver a integral separadamente:
  1. integral x , dx é uma integral básica que resulta em x^22.
  2. integral 2x e^x , dx requer o uso da integração por partes, onde escolhemos $ u = x $ e $ dv = 2e^{x} dx $. Assim:
    • $ du = dx $
    • $ v = 2e^{x} $
    Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $, temos:
    u = x

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral total:
V = 2pi [ x^22 + 2x e^x - 2e^x ]0^1

Passo 8

Vamos calcular os valores nos limites $ x = 1 $ e $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = 0 $:
x = 0
Subtraindo:
x = 1

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo $ 2\pi $:
2pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 5\pi $ unidades cúbicas.

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