Dado os números complexos:
v1=5+3 i, v2=(4 * 6)+9 i, v3=3+8-65 pi i
Calcule e represente no plano complexo:
e^v3

Passo 1

O enunciado pede para calcular e representar no plano complexo o número e^v3, onde estamos trabalhando com exponencial de número complexo. Vamos usar a fórmula de Euler para exponenciais: e^x + i y = e^xl(cos y + isin yr). A teoria principal é transformar v3 na forma x + i y e aplicar essa definição.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o dado v3. Temos:
v3 = 3 + 8 - 65 ;pi,i = 3 + 2pi5,i

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Euler para exponenciais complexas. Se v3 = x + i y com x = 3 e y = tfrac2pi5, então:
e^v3 = e^3 + itfrac2pi5 = e^3 l(costfrac2pi5 + isintfrac2pi5r)

Passo 4

Essa é a forma exata em termos de coseno e seno. Se quisermos uma forma aproximada, calculamos:
e^3 approx 20,085
costfrac2pi5 approx 0,3090, sintfrac2pi5 approx 0,9511

Passo 5

Logo, em forma aproximada:
e^v3 approx 20,085,(0,3090 + i,0,9511) approx 6,205 + 19,101,i

Passo 6

Para representar no plano complexo, interpretamos esse número em coordenadas polares: raio r = e^3 e argumento theta = 2pi/5 (72°). É um vetor partindo da origem, de comprimento e^3 e inclinado a 72° em relação ao eixo real positivo.

Resposta

A forma exata é e^v3 = e^3l(costfrac2pi5 + isintfrac2pi5r). Em coordenadas retangulares aproximadas: 6,205 + 19,101,i. No plano complexo, é o ponto de módulo e^3 e ângulo 2pi/5 (72°).

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