Considere
f(x)= 5 x^3-12 x+9, & se x<1 3 x^2-2 x+1, & se x >= 1
Ache, caso exista, a equação da reta tangente ao gráfico de f em x0=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f em x0 = 1. O conteúdo envolve derivada de função definida por partes e a verificação de diferenciabilidade nesse ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada ramo: para x<1, f(x) = 5x^3 - 12x + 9 tem derivada f'(x) = 15x^2 - 12; para x >= 1, f(x) = 3x^2 - 2x + 1 tem derivada f'(x) = 6x - 2.

Passo 3

Avaliamos as derivadas laterais em x=1: derivada à esquerda f'-(1) = 15cdot1^2 - 12 = 3 e derivada à direita f'+(1) = 6cdot1 - 2 = 4.

Passo 4

Como f'-(1) neq f'+(1), a derivada não existe em x=1 e, portanto, não há reta tangente nesse ponto.

Resposta

Não existe reta tangente em x0=1, pois f não é diferenciável nesse ponto.

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