Mostre que
nabla cdot(F+G)=nabla cdot F+nabla cdot G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador divergente é linear, ou seja, que para dois campos vetoriais vec F e vec G vale nablacdot(vec F+vec G)=nablacdotvec F+nablacdotvec G. Estamos no contexto de cálculo vetorial e vamos usar a definição de divergente e a linearidade da derivada parcial.

Passo 2

Para começar, lembramos a definição de divergente de um campo vetorial vec H=(H1,H2,H3). Por definição:
nablacdotvec H=partial H1partial x+partial H2partial y+partial H3partial z

Passo 3

Agora, definimos vec F=(F1,F2,F3) e vec G=(G1,G2,G3). O campo soma é
vec F+vec G=(F1+G1,;F2+G2,;F3+G3)
Logo,
nablacdot(vec F+vec G)=partial (F1+G1)partial x+partial (F2+G2)partial y+partial (F3+G3)partial z

Passo 4

Aplicando a propriedade de linearidade da derivada parcial (isto é, partial (u+v)/partial x=partial u/partial x+partial v/partial x), obtemos:
nablacdot(vec F+vec G)=l(partial F1partial x+partial G1partial xr)+l(partial F2partial y+partial G2partial yr)+l(partial F3partial z+partial G3partial zr)

Passo 5

Reagrupando as somas, vemos que os termos de F somados formam nablacdotvec F e os termos de G somados formam nablacdotvec G. Assim:
nablacdot(vec F+vec G)=(partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z)+(partial G1partial x+partial G2partial y+partial G3partial z)=nablacdotvec F+nablacdotvec G

Resposta

nablacdot(vec F+vec G)=nablacdotvec F+nablacdotvec G.

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