Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador divergente é linear, ou seja, que para dois campos vetoriais
e
vale
. Estamos no contexto de cálculo vetorial e vamos usar a definição de divergente e a linearidade da derivada parcial.
Passo 2
Para começar, lembramos a definição de divergente de um campo vetorial
. Por definição:
Passo 3
Agora, definimos
e
. O campo soma é
Logo,
Passo 4
Aplicando a propriedade de linearidade da derivada parcial (isto é,
), obtemos:
Passo 5
Reagrupando as somas, vemos que os termos de
somados formam
e os termos de
somados formam
. Assim: