Use as regras de derivação para calcular a derivada das funções abaixo:
f(x)=x^1n ln x^n, n in N

Passo 1

Neste exercício vamos derivar a função f(x)=x{1/n}·ln(xn) usando regras de derivação: produto, potência e logaritmo.

Passo 2

Primeiro simplificamos o logaritmo usando a propriedade ln(x^n)=n·ln(x), o que dá:
f(x)=n,x^1n,ln x

Passo 3

Como n é constante, vemos f(x)=n·[u(x)·v(x)] com u(x)=x^{1/n} e v(x)=ln(x). Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=nl(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)r)

Passo 4

Derivamos cada parte: pela regra da potência
u'(x)=1nx^1n-1,
e pela derivada do logaritmo
v'(x)=1x

Passo 5

Substituímos em f’(x) e simplificamos:
f'(x)=nl(1nx^1n-1ln x + x^1ncdot1xr) = x^1n-1ln x + n,x^1n-1 = x^1n-1(ln x + n)

Resposta

f'(x)=x^1n-1l(ln x + nr)

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