Considere
f(x)= 5 x^3-12 x+9, & se x<1 3 x^2-2 x+1, & se x >= 1
Para quais valores de x0 tem-se que a reta tangente ao gráfico de f em x0 é horizontal?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes f(x) e pede os valores de x₀ para os quais a reta tangente é horizontal, ou seja, onde a derivada f’(x₀) = 0. A teoria: reta tangente horizontal significa que o coeficiente angular da reta, que é f’(x), deve se anular. Vamos calcular f’(x) em cada ramo.

Passo 2

No ramo x < 1 temos f(x) = 5x³ − 12x + 9. Derivando, fica
f'(x) = 15x^2 - 12 Para achar candidatos, resolvemos
15x^2 - 12 = 0 Longrightarrow x^2 = 1215 = 45 Longrightarrow x = pm2raiz5 Verificamos o domínio: ±2/√5 ≈ ±0.894 estão ambos em x < 1, então são válidos.

Passo 3

No ramo x ≥ 1 temos f(x) = 3x² − 2x + 1. Derivando,
f'(x) = 6x - 2 Igualando a zero,
6x - 2 = 0 Longrightarrow x = tfrac13, mas x = 1/3 não satisfaz x ≥ 1. Portanto não há solução nesse ramo.

Resposta

Os valores de x₀ com reta tangente horizontal são x₀ = ±\tfrac{2}{\sqrt{5}}.

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