A função f dada por llx^2-5 x+1, & x <= 1 ; 2 x^2-7 x+2, & x>1 é derivável no ponto x0=1? Em caso afirmativo, calcule f^prime(1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função definida por partes
f(x)=x^2-5x+1,&x<=1,2x^2-7x+2,&x>1
é derivável em x0=1, ou seja, precisamos conferir continuidade em x=1 e se as derivadas laterais coincidem naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, conferimos a continuidade em x=1. Calculamos os limites laterais e o valor da função:
  • Para x<=1, f(1)=1^2-5cdot1+1=-3.
  • Limite pela direita: para x>1, limxto1^+f(x)=2cdot1^2-7cdot1+2=-3.
    Como f(1)=limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=-3, a função é contínua em x=1.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas laterais em x=1:
  • Derivada à esquerda: para x<1, f(x)=x^2-5x+1, então f'-(x)=2x-5 e f'-(1)=2cdot1-5=-3.
  • Derivada à direita: para x>1, f(x)=2x^2-7x+2, então f'+(x)=4x-7 e f'+(1)=4cdot1-7=-3.
    Como f'-(1)=f'+(1)=-3, as derivadas laterais coincidem.

Passo 4

Concluímos que a função é derivável em x=1 e o valor da derivada naquele ponto é f'(1)=-3.

Resposta

Sim. f’(1) = -3

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