Prove que senh 2 z=2 senh z cosh z usando as definições de senh z e cosh z.

Passo 1

O exercício pede pra provar que sinh 2z = 2sinh z,cosh z. O assunto é identidades de funções hiperbólicas e vamos usar as definições de sinh z e cosh z.

Passo 2

A definição de sinh z é
sinh z = e^z - e^-z2
e a de cosh z é
cosh z = e^z + e^-z2 .

Passo 3

Substituindo essas definições em 2sinh z,cosh z, temos:
2sinh z,cosh z = 2 cdot e^z - e^-z2 cdot e^z + e^-z2 = (e^z - e^-z)(e^z + e^-z)2
Expandindo o produto dentro do numerador:
(e^z - e^-z)(e^z + e^-z) = e^2z - e^-2z
Então
2sinh z,cosh z = e^2z - e^-2z2

Passo 4

Por definição, sinh 2z = e^2z - e^-2z2. Como o resultado coincide exatamente, concluímos que
sinh 2z = 2sinh z,cosh z
, o que prova a identidade.

Resposta

sinh 2z = 2sinh z,cosh z

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