Sejam f, g deriváveis. Sabendo que f^prime(x)=x g^prime(x), como você descreveria o crescimento de f em termos do crescimento de g?

Passo 1

A questão nos dá que as funções f e g são deriváveis e que f'(x)=x,g'(x). O conteúdo aqui é integração e, mais especificamente, integração por partes para relacionar f e g.

Passo 2

Para achar f em termos de g, vamos integrar a relação f'(x)=x,g'(x). Isso nos dá:
Aplicamos integração por partes em integral x,g'(x),dx. Escolhendo u=x e dv=g'(x)dx, temos:
integral x,g'(x),dx = x,g(x) - integral 1 cdot g(x),dx

Passo 3

Portanto, integrando ambos os lados, obtemos:
f(x)=integral f'(x),dx = integral x,g'(x),dx = x,g(x) - integral g(x),dx + C,
onde C é a constante de integração. Isso mostra que, até uma constante, f(x) se comporta como x,g(x) menos a integral de g.
Em termos de crescimento assintótico, o termo dominante é x,g(x), então f(x) cresce aproximadamente como x,g(x) quando x fica grande, a menos de um termo de ordem inferior dado por integral g(x),dx.

Resposta

f(x)=x,g(x)-integral g(x),dx+C, de modo que, assintoticamente, f(x) cresce como x,g(x).

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