Considere f(x)=3 x^2+x-1 e seja g uma função diferenciável em R. A reta tangente ao gráfico de g(x) em (1,2) é: y(x)=-x+3.
b) Suponha que existe uma função h(x), diferenciável em R, com h(1) neq 0. A reta tangente ao gráfico de gh(x) no ponto (1, gh(1)) tem equação y1(x)=-x ( A função g aqui é a mesma do item a). Quais os valores de h(1) e h^prime(1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas funções diferenciáveis, e , e nos fala sobre as retas tangentes aos seus gráficos em certos pontos. A gente precisa descobrir os valores de e . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e de como encontrar a reta tangente a uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente. A reta tangente a uma função y = f'(a)(x - a) + f(a) em um ponto tem a forma:
Aqui, é a derivada de no ponto , que representa a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Passo 3

No primeiro item, a reta tangente à função y = g'(1)(x - 1) + g(1) em g'(1) = -1 e g(1) = 2 é dada por . Comparando com a fórmula geral da reta tangente:
Podemos identificar que:
Isso porque, substituindo na equação da reta tangente, temos , que é o valor de .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo item. A reta tangente à função y1(x) = (gh)'(1)(x - 1) + gh(1) em y1(x) = -1 cdot (x - 1) + (gh)(1) = -x + 1 + (gh)(1) é 1 + (gh)(1) = 0 Rightarrow (gh)(1) = -1 . Novamente, usando a fórmula da reta tangente:
Comparando com , podemos reescrever a equação da reta tangente como:
Para que isso seja igual a , precisamos que:

Passo 5

Sabemos que gh(1) = 2h(1) = -1 Rightarrow h(1) = -2 , então:
Agora, precisamos encontrar .

Passo 6

Vamos usar a regra da derivada para o quociente:
(gh)' = g' h - g h'h^2
Sabemos que -1 = (-1)(-2) - 2 h'(1)(-2)^2 = 2 - 2 h'(1)4 (a inclinação da reta tangente -4 = 2 - 2 h'(1) Rightarrow -6 = -2 h'(1) Rightarrow h'(1) = 3 ) e que , , e . Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Resposta

Os valores são e .

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