Considere
e seja
uma função diferenciável em
. A reta tangente ao gráfico de
em
é:
.
b) Suponha que existe uma função
, diferenciável em
. A reta tangente ao gráfico de
no ponto
tem equação
( A função
aqui é a mesma do item a). Quais os valores de
e
?
b) Suponha que existe uma função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá duas funções diferenciáveis,
e
, e nos fala sobre as retas tangentes aos seus gráficos em certos pontos. A gente precisa descobrir os valores de
e
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e de como encontrar a reta tangente a uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta tangente. A reta tangente a uma função
em um ponto
tem a forma:
Aqui,
é a derivada de
no ponto
, que representa a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Passo 3
No primeiro item, a reta tangente à função
em
é dada por
. Comparando com a fórmula geral da reta tangente:
Podemos identificar que:
Isso porque, substituindo
na equação da reta tangente, temos
, que é o valor de
.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo item. A reta tangente à função
em
é
. Novamente, usando a fórmula da reta tangente:
Comparando com
, podemos reescrever a equação da reta tangente como:
Para que isso seja igual a
, precisamos que:
Passo 5
Sabemos que
, então:
Agora, precisamos encontrar
.
Passo 6
Vamos usar a regra da derivada para o quociente:
Sabemos que
(a inclinação da reta tangente
) e que
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Resposta
Os valores são
e
.