Considere f(x)=x^3+6 x^2+9 x. Acerca da função f, determine os intervalos de crescimento/decrescimento e máximos/mínimos locais;

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é f(x)=x^3+6x^2+9x. Vamos usar derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento e localizar máximos e mínimos locais. Precisamos calcular f'(x), achar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e analisar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Em bloco:
f'(x) = ddxl(x^3+6x^2+9xr) = 3x^2 + 12x + 9
Explicação: a derivada indica a taxa de variação instantânea da função, e seu sinal define se ela cresce ( f'>0) ou decresce ( f'<0).

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0. Fatorando:
f'(x) = 3(x^2+4x+3) = 3(x+1)(x+3)
Logo os zeros são x=-1 e x=-3. Esses pontos são candidatos a extremos locais porque ali a derivada se anula.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
Para x<-3: x+3<0 e x+1<0, então (x+1)(x+3)>0 e f'(x)>0 (função cresce).
Para -3: x+3>0 e x+1<0, então (x+1)(x+3)<0 e f'(x)<0 (função decresce).
Para x>-1: x+3>0 e x+1>0, então (x+1)(x+3)>0 e f'(x)>0 (função cresce).

Passo 5

Classificamos os extremos locais:
Em x=-3 a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
Em x=-1 a derivada vai de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0
f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4
Logo o máximo local é (-3,0) e o mínimo local é (-1,-4).

Resposta

A função cresce em (-3,-1) e decresce em (-3,0). Tem máximo local em (-1,-4) e mínimo local em .

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