Considere
. Acerca da função
, determine os intervalos de crescimento/decrescimento e máximos/mínimos locais;
Passo 1
Resumo do enunciado: a função é
. Vamos usar derivadas para determinar intervalos de crescimento e decrescimento e localizar máximos e mínimos locais. Precisamos calcular
, achar pontos críticos resolvendo
e analisar o sinal de
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Em bloco:
Explicação: a derivada indica a taxa de variação instantânea da função, e seu sinal define se ela cresce (
) ou decresce (
).
Passo 3
Determinamos os pontos críticos resolvendo
. Fatorando:
Logo os zeros são
e
. Esses pontos são candidatos a extremos locais porque ali a derivada se anula.
Passo 4
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
Para :
e
, então
e
(função cresce).
Para :
e
, então
e
(função decresce).
Para :
e
, então
e
(função cresce).
Para
Para
Para
Passo 5
Classificamos os extremos locais:
Em a derivada passa de positiva para negativa, indicando um máximo local.
Em a derivada vai de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Calculamos os valores de nesses pontos:
Em
Em
Calculamos os valores de
Logo o máximo local é
e o mínimo local é
.
Resposta
A função cresce em
e decresce em
. Tem máximo local em
e mínimo local em
.