Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime+y=sec t, y=(cos t) ln cos t+sin t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada, $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $, é uma solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função $ y $ é solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $ se, ao calcularmos a derivada de $ y $ e somarmos $ y $, o resultado for exatamente $ \sec t $. Ou seja, precisamos encontrar $ y’ $ e verificar se $ y’ + y = \sec t $.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de $ y $. A função é $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $. Para derivar essa função, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos $ \cos t \cdot \ln \cos t $:
  • A derivada de $ \cos t $ é $ -\sin t $.
  • A derivada de $ \ln \cos t $ é $ \frac{d}{dt}(\ln \cos t) = \frac{-\sin t}{\cos t} = -\tan t $.
Aplicando a regra do produto:
y
Simplificando:
y = cos t cdot ln cos t + sin t
Sabemos que $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $, então $ \cos t \cdot \tan t = \sin t $. Então:
cos t cdot ln cos t
Agora, derivamos $ \sin t $:
cos t
Então, a derivada completa $ y’ $ é:
-sin t

Passo 4

Agora, vamos somar $ y’ $ e $ y $:
y'
Vamos simplificar essa expressão combinando termos semelhantes:
y
Observamos que $ -\sin t + \sin t = 0 $, então sobra:
y' + y = (-sin t cdot ln cos t - sin t + cos t) + (cos t cdot ln cos t + sin t)

Passo 5

Agora, comparamos $ y’ + y $ com $ \sec t $:
y' + y
sec t
Para a função $ y $ ser solução, essas duas expressões devem ser iguais para todo $ t $. Vamos testar com um valor específico de $ t $, por exemplo, $ t = 0 $:
  • $ \cos 0 = 1 $
  • $ \ln \cos 0 = \ln 1 = 0 $
  • $ \sin 0 = 0 $
Substituindo na expressão de $ y’ + y $:
y' + y = (cos t - sin t) cdot ln cos t + cos t
E $ \sec 0 = \frac{1}{1} = 1 $, então nesse caso a igualdade funciona.
No entanto, vamos testar com outro valor, por exemplo, $ t = \frac{\pi}{3} $:
  • $ \cos \frac{\pi}{3} = 0,5 $
  • $ \ln 0,5 = -\ln 2 $
  • $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Substituindo na expressão de $ y’ + y $:
sec t = 1cos t
Calculando numericamente:
y
E $ \sec \frac{\pi}{3} = 2 $, que é diferente de 0,754. Portanto, a igualdade não se mantém para todos os valores de $ t $.

Resposta

Não, a função $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $ não é uma solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $.

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