Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função dada, $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $, é uma solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função $ y $ é solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $ se, ao calcularmos a derivada de $ y $ e somarmos $ y $, o resultado for exatamente $ \sec t $. Ou seja, precisamos encontrar $ y’ $ e verificar se $ y’ + y = \sec t $.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de $ y $. A função é $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $. Para derivar essa função, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos $ \cos t \cdot \ln \cos t $:
- A derivada de $ \cos t $ é $ -\sin t $.
- A derivada de $ \ln \cos t $ é $ \frac{d}{dt}(\ln \cos t) = \frac{-\sin t}{\cos t} = -\tan t $.
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Sabemos que $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $, então $ \cos t \cdot \tan t = \sin t $. Então:
Agora, derivamos $ \sin t $:
Então, a derivada completa $ y’ $ é:
Passo 4
Agora, vamos somar $ y’ $ e $ y $:
Vamos simplificar essa expressão combinando termos semelhantes:
Observamos que $ -\sin t + \sin t = 0 $, então sobra:
Passo 5
Agora, comparamos $ y’ + y $ com $ \sec t $:
Para a função $ y $ ser solução, essas duas expressões devem ser iguais para todo $ t $. Vamos testar com um valor específico de $ t $, por exemplo, $ t = 0 $:
- $ \cos 0 = 1 $
- $ \ln \cos 0 = \ln 1 = 0 $
- $ \sin 0 = 0 $
Substituindo na expressão de $ y’ + y $:
E $ \sec 0 = \frac{1}{1} = 1 $, então nesse caso a igualdade funciona.
No entanto, vamos testar com outro valor, por exemplo, $ t = \frac{\pi}{3} $:
- $ \cos \frac{\pi}{3} = 0,5 $
- $ \ln 0,5 = -\ln 2 $
- $ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Substituindo na expressão de $ y’ + y $:
Calculando numericamente:
E $ \sec \frac{\pi}{3} = 2 $, que é diferente de 0,754. Portanto, a igualdade não se mantém para todos os valores de $ t $.
Resposta
Não, a função $ y = \cos t \cdot \ln \cos t + \sin t $ não é uma solução da equação diferencial $ y’ + y = \sec t $.