Verifique se cada função dada é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+2 y^prime-3 y=0, y1(t)=e^-t, y2(t)=e^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções satisfazem a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 3y = 0
Precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de cada candidato e substituir na equação para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Para y1(t)=e^-t:
Calculando as derivadas:
y1'(t) = -e^-t,
y1''(t) = e^-t
Substituindo em
y'' + 2y' - 3y,
obtemos
y1'' + 2y1' - 3y1 = e^-t + 2(-e^-t) - 3e^-t = e^-t - 2e^-t - 3e^-t = -4e^-t neq 0

Passo 3

Para y2(t)=e^t:
Calculando as derivadas:
y2'(t) = e^t,
y2''(t) = e^t
Substituindo em
y'' + 2y' - 3y,
obtemos
y2'' + 2y2' - 3y2 = e^t + 2e^t - 3e^t = 0

Resposta

A função y1(t)=e^-t não é solução e a função y2(t)=e^t é solução da equação diferencial dada.

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