Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Vamos analisar a questão: precisamos verificar se a integral
converge ou não. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e aplicar testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o comportamento da função que estamos integrando, ou seja,
. Sabemos que as funções seno e cosseno são periódicas e que:
Portanto,
varia entre 0 e 1, o que significa que o denominador
estará sempre entre 1 e 2.
Passo 3
Com essa informação, podemos estabelecer uma desigualdade para a função integranda:
Aqui, dividimos o numerador
pelo menor e maior valor que o denominador pode assumir.
Passo 4
Agora, vamos considerar a integral de
no intervalo de 0 a
:
Sabemos que essa integral não converge. Isso porque a função
oscila indefinidamente entre -1 e 1, fazendo com que as áreas positivas e negativas se anulem de forma que o limite não exista.
Passo 5
Como a nossa função original
está limitada por
, que sabemos que a integral diverge, podemos aplicar o Teste da Comparação. Segundo esse teste, se uma função maior que uma função divergente também diverge, então a função original não converge.
Resposta
A integral
não converge.