Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral0^+infty cos x1+sen^2 x d x

Passo 1

Vamos analisar a questão: precisamos verificar se a integral
integral0^+infty cos x1 + sin^2 x , dx
converge ou não. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais impróprias e aplicar testes de convergência, especialmente o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o comportamento da função que estamos integrando, ou seja, cos x1 + sin^2 x. Sabemos que as funções seno e cosseno são periódicas e que:
-1 <= sin x <= 1
-1 <= cos x <= 1
Portanto, sin^2 x varia entre 0 e 1, o que significa que o denominador 1 + sin^2 x estará sempre entre 1 e 2.

Passo 3

Com essa informação, podemos estabelecer uma desigualdade para a função integranda:
cos x2 <= cos x1 + sin^2 x <= cos x
Aqui, dividimos o numerador cos x pelo menor e maior valor que o denominador pode assumir.

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral de cos x no intervalo de 0 a +infty:
integral0^+infty cos x , dx
Sabemos que essa integral não converge. Isso porque a função cos x oscila indefinidamente entre -1 e 1, fazendo com que as áreas positivas e negativas se anulem de forma que o limite não exista.

Passo 5

Como a nossa função original cos x1 + sin^2 x está limitada por cos x, que sabemos que a integral diverge, podemos aplicar o Teste da Comparação. Segundo esse teste, se uma função maior que uma função divergente também diverge, então a função original não converge.

Resposta

A integral
integral0^+infty cos x1 + sin^2 x , dx
não converge.

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