4.1. Considere

f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-1}{x-1}, & x \neq 1, \\\ c, & x=1 .\end{cases}
Determine o valor de c para que f seja contínua em x=1.
Solução. Para x \neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 .
Logo,
\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2 .
Para que f seja contínua em x=1, precisamos ter
f(1)=\lim _{x \rightarrow 1} f(x) .
Como f(1)=c, segue que
c=2 \text {. }

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}, & x \neq 1, \\[4pt] c, & x=1 .\end{cases}
O que o exercício pede: determinar o valor de c para que f seja contínua em x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para f(x) quando x\neq1 é \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
  • O valor de f em x=1 é f(1)=c (constante desconhecida).
  • A condição de continuidade no ponto x=1 será usada para encontrar c.]

Passo 2

Primeiro vamos manipular a expressão para x\neq1. Note que
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo, para x\neq1, pode-se simplificar:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Explicação cuidadosa: a razão \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} só pode ser simplificada para x+1 quando x-1\neq0, isto é, quando x\neq1. Por isso a igualdade vale apenas para x\neq1, o que é compatível com a definição por partes dada.

Passo 3

Agora calculemos o limite lateral comum quando x se aproxima de 1 usando a expressão simplificada válida em torno de 1:
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1}(x+1).
Razão: para x próximo de 1 (mas diferente de 1) temos f(x)=x+1, portanto o limite de f quando x\to1 é o mesmo que o limite de x+1 quando x\to1.

Passo 4

Avaliar o limite de uma função polinomial é feito por substituição direta porque polinômios são contínuos em todo ponto. Assim,
\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.
Portanto
\lim_{x\to1} f(x)=2.

Passo 5

Agora aplicamos a definição de continuidade em x=1. Uma função f é contínua em x=1 se e somente se:
  1. f(1) está definida, e
  2. \lim_{x\to1} f(x) existe e é igual a f(1).
No problema, f(1)=c (está definida), e já encontramos \lim_{x\to1} f(x)=2. Portanto a condição de continuidade exige
f(1)=\lim_{x\to1} f(x).

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos na condição de continuidade obtemos
c=\;2.
Parabéns — isso significa que, escolhendo c=2, a definição por partes fica “colada” no ponto x=1 e a função fica contínua ali.

Resposta

c=2

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