O que o exercício pede: determinar o valor de c para que f seja contínua em x=1.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão para f(x) quando x\neq1 é \dfrac{x^{2}-1}{x-1}.
O valor de f em x=1 é f(1)=c (constante desconhecida).
A condição de continuidade no ponto x=1 será usada para encontrar c.]
Passo 2
Primeiro vamos manipular a expressão para x\neq1. Note que
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Logo, para x\neq1, pode-se simplificar:
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.
Explicação cuidadosa: a razão \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} só pode ser simplificada para x+1 quando x-1\neq0, isto é, quando x\neq1. Por isso a igualdade vale apenas para x\neq1, o que é compatível com a definição por partes dada.
Passo 3
Agora calculemos o limite lateral comum quando x se aproxima de 1 usando a expressão simplificada válida em torno de 1:
\lim_{x\to1} f(x)=\lim_{x\to1}(x+1).
Razão: para x próximo de 1 (mas diferente de 1) temos f(x)=x+1, portanto o limite de f quando x\to1 é o mesmo que o limite de x+1 quando x\to1.
Passo 4
Avaliar o limite de uma função polinomial é feito por substituição direta porque polinômios são contínuos em todo ponto. Assim,
\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.
Portanto
\lim_{x\to1} f(x)=2.
Passo 5
Agora aplicamos a definição de continuidade em x=1. Uma função f é contínua em x=1 se e somente se:
f(1) está definida, e
\lim_{x\to1} f(x) existe e é igual a f(1).
No problema, f(1)=c (está definida), e já encontramos \lim_{x\to1} f(x)=2. Portanto a condição de continuidade exige
f(1)=\lim_{x\to1} f(x).
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos na condição de continuidade obtemos
c=\;2.
Parabéns — isso significa que, escolhendo c=2, a definição por partes fica “colada” no ponto x=1 e a função fica contínua ali.