3.3. Calcule
Solução. Substituindo
, aparece
. Racionalizamos o numerador:
Como
, temos, para
,
Portanto,
Logo,
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável tende para
. - Ao substituir
diretamente obtemos uma forma indeterminada (isso será verificado no próximo passo).
Passo 2
Verificação direta da substituição para ver a forma indeterminada.
Calculemos o numerador e o denominador em :
Calculemos o numerador e o denominador em
Portanto, ao substituir aparece
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Estratégia para remover a indeterminação: racionalizar o numerador.
Explicação didática: quando o numerador tem uma diferença com raiz do tipo , uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. O produto de conjugados usa a identidade
Explicação didática: quando o numerador tem uma diferença com raiz do tipo
o que elimina a raiz do numerador. Aqui,
e
.
Aplicando isso, multiplicamos a fração por
(que vale
, então não altera a expressão quando
é tal que o denominador novo não é zero):
Passo 4
Fazendo o produto usando a identidade de diferença de quadrados:
Agora simplificamos o numerador:
Logo a expressão fica
Passo 5
Cancelamento do fator comum
.
Observação importante: o cancelamento é válido para (pois em
tínhamos denominador zero antes do cancelamento). Como na definição de limite a variável
se aproxima de
sem necessariamente ser igual a
, podemos considerar a expressão simplificada para
:
Observação importante: o cancelamento é válido para
Agora temos uma expressão equivalente à original para todos
próximos de
(exceto em
mesmo), mas que não gera indeterminação ao substituir
.
Passo 6
Calcular o limite substituindo na expressão simplificada, já que ela é contínua em
:
Portanto o limite existe e é
.
Passo 7
Verificação alternativa (interpretativa e curta): derivada no ponto.
Comentário didático: a expressão lembra a definição de quociente incremental para a função
no ponto
:
Comentário didático: a expressão
O limite quando
é então
, a derivada de
em
. Como
temos
, que confirma o resultado anterior. Esta é apenas uma verificação alternativa — a técnica usada na resolução principal (racionalização) é suficiente e geralmente mais básica para provas sem cálculo de derivadas.