3.3. Calcule

\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}
Solução. Substituindo x=4, aparece 0 / 0. Racionalizamos o numerador:
\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} \cdot \frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{x+5-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} .
Como x+5-9=x-4, temos, para x \neq 4,
\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3} .
Portanto,
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6} .
Logo,
\begin{array}{|l|} \hline \frac{1}{6} . \\\ \hline \end{array}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}.
  • A variável tende para x=4.
  • Ao substituir x=4 diretamente obtemos uma forma indeterminada 0/0 (isso será verificado no próximo passo).

Passo 2

Verificação direta da substituição para ver a forma indeterminada.
Calculemos o numerador e o denominador em x=4:
\sqrt{4+5}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0, \qquad 4-4=0.
Portanto, ao substituir aparece 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo; precisamos manipular a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Estratégia para remover a indeterminação: racionalizar o numerador.
Explicação didática: quando o numerador tem uma diferença com raiz do tipo \sqrt{A}-B, uma técnica comum é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{A}+B. O produto de conjugados usa a identidade
(a-b)(a+b)=a^2-b^2,
o que elimina a raiz do numerador. Aqui, a=\sqrt{x+5} e b=3.
Aplicando isso, multiplicamos a fração por \dfrac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3} (que vale 1, então não altera a expressão quando x é tal que o denominador novo não é zero):
\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}.

Passo 4

Fazendo o produto usando a identidade de diferença de quadrados:
\frac{(\sqrt{x+5}-3)(\sqrt{x+5}+3)}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)} = \frac{(\sqrt{x+5})^2 - 3^2}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}.
Agora simplificamos o numerador:
(\sqrt{x+5})^2 - 3^2 = (x+5) - 9 = x-4.
Logo a expressão fica
\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}.

Passo 5

Cancelamento do fator comum x-4.
Observação importante: o cancelamento é válido para x\neq 4 (pois em x=4 tínhamos denominador zero antes do cancelamento). Como na definição de limite a variável x se aproxima de 4 sem necessariamente ser igual a 4, podemos considerar a expressão simplificada para x\neq 4:
\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3},\qquad (x\neq 4).
Agora temos uma expressão equivalente à original para todos x próximos de 4 (exceto em 4 mesmo), mas que não gera indeterminação ao substituir x=4.

Passo 6

Calcular o limite substituindo na expressão simplificada, já que ela é contínua em x=4:
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac{1}{\sqrt{4+5}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{1}{6}.

Passo 7

Verificação alternativa (interpretativa e curta): derivada no ponto.
Comentário didático: a expressão \dfrac{\sqrt{x+5}-3}{x-4} lembra a definição de quociente incremental para a função f(x)=\sqrt{x+5} no ponto x=4:
\frac{f(x)-f(4)}{x-4}.
O limite quando x\to 4 é então f'(4), a derivada de f em 4. Como
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+5}},
temos f'(4)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{2\cdot 3}=\dfrac{1}{6}, que confirma o resultado anterior. Esta é apenas uma verificação alternativa — a técnica usada na resolução principal (racionalização) é suficiente e geralmente mais básica para provas sem cálculo de derivadas.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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