3.5. Calcule

\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}+2 x}{x^{2}+1} .
Solução. A função do numerador é soma de funções contínuas em x=0, e o denominador também é contínuo. Além disso,
x^{2}+1 \neq 0 \quad \text { em } \quad x=0 .
Portanto podemos substituir diretamente:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}+2 x}{x^{2}+1}=\frac{\sqrt{0+1}+2 \cdot 0}{0^{2}+1}=\frac{1}{1}=1 .
Logo,
1 .

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}+2x}{x^{2}+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é a função x\mapsto \sqrt{x+1}+2x.
  • O denominador é a função x\mapsto x^{2}+1.
  • A variável x tende a 0.
  • Observação sobre domínio: a função \sqrt{x+1} está definida para x\ge -1, então o ponto x=0 pertence ao domínio da expressão.

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): dizer que uma função f é contínua em a significa que os valores de f(x) quando x se aproxima de a ficam cada vez mais próximos de f(a). Em símbolos:
\text{\(f\) é contínua em \(a\)}\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Propriedades importantes que usaremos (essas são regras padrão de limites/continuidade):
  • Se g e h são contínuas em a, então g+h e g\cdot h são contínuas em a.
  • Se g e h são contínuas em a e h(a)\neq 0, então \dfrac{g}{h} é contínua em a.
    Essas propriedades permitem, muitas vezes, calcular limites por substituição direta: se a função dada é contínua em a, então \lim_{x\to a} f(x)=f(a).

Passo 3

Aplicando o que sabemos às funções do problema:
  • A função x\mapsto \sqrt{x+1} é contínua em todos os pontos do seu domínio [ -1,\infty). Em particular é contínua em x=0.
  • A função x\mapsto 2x é um polinômio (linear), portanto contínua em todo \mathbb{R}; logo é contínua em x=0.
  • A soma de funções contínuas é contínua, então x\mapsto \sqrt{x+1}+2x é contínua em x=0.
  • A função x\mapsto x^{2}+1 também é um polinômio, logo contínua em todo lugar e, em particular, em x=0.

Passo 4

Verificação necessária para usar a regra do quociente: o denominador no ponto x=0 não pode ser zero. Calculamos:
0^{2}+1=1\neq 0.
Portanto o quociente está bem definido em x=0 e é contínuo lá (pela propriedade do quociente).

Passo 5

Como o numerador e o denominador são contínuos em 0 e o denominador vale 1 em 0, a função inteira é contínua em 0. Logo podemos fazer a substituição direta para calcular o limite:
calcular o valor da expressão em x=0:
\sqrt{0+1}+2\cdot 0 = \sqrt{1}+0 = 1,
0^{2}+1=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}+2x}{x^{2}+1}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Observação extra (modo de reforçar a intuição): se você quiser ver a mesma conclusão por outra via, expanda \sqrt{1+x} para pequenos x:
\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}+o(x)
quando x\to 0. Então o numerador fica 1+\frac{x}{2}+2x+o(x)=1+\tfrac{5}{2}x+o(x) e o denominador é 1+o(x), logo o quociente tende a 1. Isso confirma o resultado obtido por continuidade.

Resposta

1

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