3.5. Calcule
Solução. A função do numerador é soma de funções contínuas em
, e o denominador também é contínuo. Além disso,
Portanto podemos substituir diretamente:
Logo,
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é a função
. - O denominador é a função
. - A variável
tende a . - Observação sobre domínio: a função
está definida para , então o ponto pertence ao domínio da expressão.
Passo 2
Conceito útil (explicado devagar): dizer que uma função
é contínua em
significa que os valores de
quando
se aproxima de
ficam cada vez mais próximos de
. Em símbolos:
Propriedades importantes que usaremos (essas são regras padrão de limites/continuidade):
- Se
e são contínuas em , então e são contínuas em . - Se
e são contínuas em e , então é contínua em .
Essas propriedades permitem, muitas vezes, calcular limites por substituição direta: se a função dada é contínua em, então .
Passo 3
Aplicando o que sabemos às funções do problema:
- A função
é contínua em todos os pontos do seu domínio . Em particular é contínua em . - A função
é um polinômio (linear), portanto contínua em todo ; logo é contínua em . - A soma de funções contínuas é contínua, então
é contínua em . - A função
também é um polinômio, logo contínua em todo lugar e, em particular, em .
Passo 4
Verificação necessária para usar a regra do quociente: o denominador no ponto
não pode ser zero. Calculamos:
Portanto o quociente está bem definido em
e é contínuo lá (pela propriedade do quociente).
Passo 5
Como o numerador e o denominador são contínuos em
e o denominador vale
em
, a função inteira é contínua em
. Logo podemos fazer a substituição direta para calcular o limite:
calcular o valor da expressão em :
calcular o valor da expressão em
Portanto
Passo 6
Observação extra (modo de reforçar a intuição): se você quiser ver a mesma conclusão por outra via, expanda
para pequenos
:
quando
. Então o numerador fica
e o denominador é
, logo o quociente tende a
. Isso confirma o resultado obtido por continuidade.