4.2. Encontre [a) para que a função
seja contínua em
, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2.
Pela esquerda:
Pela direita e no ponto
:
Igualando:
Logo,
Portanto,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
seja contínua em (x=2].
Informações dadas:
- Para
temos a expressão . - Para
temos a expressão . - Quer-se que a função seja contínua exatamente no ponto
.
Passo 2
O que significa “ser contínua em
”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática de continuidade em um ponto: a função
é contínua em
se o limite à esquerda em
, o limite à direita em
e o valor
existem e são todos iguais. Em símbolos:
Aqui temos uma função por partes, então é natural calcular os dois limites laterais usando as fórmulas das duas partes e comparar com
.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
Para
a função vale
. Essa é uma função linear (um polinômio de grau 1), e polinômios são contínuos em todo ponto, portanto o limite quando
é obtido substituindo
na expressão:
Explicando: para funções simples como
basta avaliar em
porque não há nenhuma descontinuidade nessa expressão.
Passo 4
Calcular o limite pela direita
e o valor
.
Para
a função vale
. Novamente é um polinômio em
(dependendo linearmente de
como parâmetro), portanto é contínuo. Assim:
Como a definição da função dá explicitamente o valor em
pela parte
, temos também
Passo 5
Impor a condição de continuidade: o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em
. Ou seja,
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Agora resolvemos essa equação para
. Agrupando termos com
no mesmo lado:
o que dá
Dividindo ambos os lados por
obtemos o valor de
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: sempre que a função for por partes, calcule o limite lateral correspondente a cada parte avaliando a expressão daquela parte no ponto. Em geral:
- Se a parte esquerda for uma expressão contínua, a substituição direta funciona.
- Verifique que o valor da função no ponto é dado pela parte que contém o ponto (aqui
). - Igualando limites e valor, resolve-se uma equação simples para
.
Força aí — essa técnica resolve a maioria dos problemas de continuidade em pontos de definição por partes!