4.2. Encontre [a) para que a função

f(x)= \begin{cases}a x+1, & x<2 \\\ x^{2}-a, & x \geq 2\end{cases}
seja contínua em x=2\]. Solução. Para continuidade em \(x=2, o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2.
Pela esquerda:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=2 a+1 .
Pela direita e no ponto x=2 :
f(2)=2^{2}-a=4-a .
Igualando:
2 a+1=4-a .
Logo,
3 a=3 \quad \Longrightarrow \quad a=1 .
Portanto,
a=1 \text {. }

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a\) para que a função \[f(x)= \begin{cases}a x+1, & x<2 \\\ x^{2}-a, & x \geq 2\end{cases}
seja contínua em (x=2].
Informações dadas:
  • Para x<2 temos a expressão ax+1.
  • Para x\geq 2 temos a expressão x^{2}-a.
  • Quer-se que a função seja contínua exatamente no ponto x=2.

Passo 2

O que significa “ser contínua em x=2”? Vou explicar passo a passo, sem pressa.
Definição prática de continuidade em um ponto: a função f é contínua em x=2 se o limite à esquerda em 2, o limite à direita em 2 e o valor f(2) existem e são todos iguais. Em símbolos:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^+} f(x)=f(2).
Aqui temos uma função por partes, então é natural calcular os dois limites laterais usando as fórmulas das duas partes e comparar com f(2).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^-} f(x).
Para x<2 a função vale ax+1. Essa é uma função linear (um polinômio de grau 1), e polinômios são contínuos em todo ponto, portanto o limite quando x\to2 é obtido substituindo x=2 na expressão:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2} (ax+1)=2a+1.
Explicando: para funções simples como ax+1 basta avaliar em x=2 porque não há nenhuma descontinuidade nessa expressão.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to 2^+} f(x) e o valor f(2).
Para x\geq2 a função vale x^{2}-a. Novamente é um polinômio em x (dependendo linearmente de a como parâmetro), portanto é contínuo. Assim:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2} (x^{2}-a)=2^{2}-a=4-a.
Como a definição da função dá explicitamente o valor em x=2 pela parte x\geq2, temos também
f(2)=4-a.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: o limite pela esquerda deve ser igual ao valor da função em 2. Ou seja,
\lim_{x\to 2^-} f(x)=f(2).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
2a+1=4-a.
Agora resolvemos essa equação para a. Agrupando termos com a no mesmo lado:
2a+a=4-1
o que dá
3a=3.
Dividindo ambos os lados por 3 obtemos o valor de a.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: sempre que a função for por partes, calcule o limite lateral correspondente a cada parte avaliando a expressão daquela parte no ponto. Em geral:
  • Se a parte esquerda for uma expressão contínua, a substituição direta funciona.
  • Verifique que o valor da função no ponto é dado pela parte que contém o ponto (aqui x\geq2).
  • Igualando limites e valor, resolve-se uma equação simples para a.
Força aí — essa técnica resolve a maioria dos problemas de continuidade em pontos de definição por partes!

Resposta

a=1

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