Considere f(x)=x^{2} se 0<x<1, e 0 se x>1. Encontre \mathscr{F}_{c}(f).

Passo 1

O enunciado dá a função f\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & x>1, \end{cases}
e pede para encontrar \mathscr{F}_{c}(f)\]. Informações relevantes extraídas do enunciado: - A função é diferente de zero apenas no intervalo \((0,1).
- A transformada pedida é a transformada cosseno \mathscr{F}_{c}(f) (não foi dada convenção explícita).
Pergunta a responder:
- Calcular \mathscr{F}_{c}(f) como função do parâmetro de frequência (vou chamar de \omega).]

Passo 2

Escolha da convenção e escrita da integral a calcular.
Aqui uso a convenção simples e comum para a transformada cosseno:
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx.
Como f(x)=0 para x>1, a integral sobre [0,\infty) reduz-se a [0,1]. Logo a transformada é
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega)=\int_{0}^{1} x^{2}\cos(\omega x)\,dx.
O objetivo agora é calcular essa integral para \omega\in\mathbb{R}.

Passo 3

Lembrete útil: fórmula de integração por partes. Para funções u(x) e v(x) com derivadas apropriadas,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Vamos aplicar integração por partes duas vezes, porque temos um polinômio multiplicando cosseno.

Passo 4

Primeira integração por partes. Escolho
u=x^{2},\qquad dv=\cos(\omega x)\,dx.
Então
du=2x\,dx,\qquad v=\frac{1}{\omega}\sin(\omega x)\quad(\text{assumindo } \omega\neq0\text{ por enquanto}).
Aplicando a fórmula,
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(\omega x)\,dx = \left.\frac{x^{2}}{\omega}\sin(\omega x)\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\omega}\sin(\omega x)\cdot 2x\,dx.
A avaliação no zero dá zero porque \sin(0)=0. Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(\omega x)\,dx = \frac{\sin\omega}{\omega} - \frac{2}{\omega}\int_{0}^{1} x\sin(\omega x)\,dx.
Denotando J(\omega)=\int_{0}^{1} x\sin(\omega x)\,dx, temos
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega} - \frac{2}{\omega}J(\omega).

Passo 5

Segunda integração por partes para J(\omega). Escolho
u=x,\qquad dv=\sin(\omega x)\,dx,
então
du=dx,\qquad v=-\frac{1}{\omega}\cos(\omega x).
Aplicando integração por partes,
J(\omega)=\left.-\frac{x}{\omega}\cos(\omega x)\right|_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{\omega}\cos(\omega x)\,dx.
A avaliação no zero dá zero porque o fator x anula. Logo
J(\omega)=-\frac{1}{\omega}\cos\omega + \frac{1}{\omega}\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx.
Calcule a integral restante:
\int_{0}^{1}\cos(\omega x)\,dx = \left.\frac{1}{\omega}\sin(\omega x)\right|_{0}^{1} = \frac{\sin\omega}{\omega}.
Substituindo:
J(\omega)=-\frac{\cos\omega}{\omega} + \frac{1}{\omega}\cdot\frac{\sin\omega}{\omega} = -\frac{\cos\omega}{\omega} + \frac{\sin\omega}{\omega^{2}}.

Passo 6

Voltar à expressão para \mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega). Substituindo J(\omega) obtido:
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega) = \frac{\sin\omega}{\omega} - \frac{2}{\omega}\left(-\frac{\cos\omega}{\omega} + \frac{\sin\omega}{\omega^{2}}\right).
Distribuindo e simplificando:
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega) = \frac{\sin\omega}{\omega} + \frac{2\cos\omega}{\omega^{2}} - \frac{2\sin\omega}{\omega^{3}}.
Colocando em uma única forma mais compacta:
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega) = \frac{2\cos\omega}{\omega^{2}} + \frac{\omega^{2}-2}{\omega^{3}}\sin\omega, \qquad (\omega\neq0).

Passo 7

Tratamento do caso \omega=0. Diretamente da definição,
\mathscr{F}_{c}\{f\}(0)=\int_{0}^{1} x^{2}\cos(0)\,dx = \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{3}.
Verificação de consistência: a expressão obtida para \omega\neq0 tem singularidades aparentes em \omega=0, mas é uma singularidade removível; tomando o limite \omega\to0 (por série de Taylor de \sin e \cos ou por L’Hôpital repetido) recupera-se \tfrac{1}{3}. Assim a expressão é válida no sentido de extensão contínua em \omega=0.

Passo 8

Resumo final e observação prática. A transformada cosseno de f é a função de \omega dada nas fórmulas acima. Essa é a expressão que pode ser usada na prova; para \omega=0 basta lembrar que o valor é \tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \mathscr{F}_{c}\{f\}(\omega)=\frac{2\cos\omega}{\omega^{2}}+\frac{\omega^{2}-2}{\omega^{3}}\sin\omega\quad(\omega\neq0)\n
\displaystyle \mathscr{F}_{c}\{f\}(0)=\frac{1}{3}

Exercícios relacionados