Considere f(x)=x^{2} se 0<x<1, e 0 se x>1. Encontre \mathscr{F}_{c}(f).
Passo 1
O enunciado dá a função f\) definida por
\[f(x)=\begin{cases} x^{2}, & 0<x<1,\\[4pt] 0, & x>1, \end{cases}
e pede para encontrar \mathscr{F}_{c}(f)\].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é diferente de zero apenas no intervalo \((0,1).
- A transformada pedida é a transformada cosseno \mathscr{F}_{c}(f) (não foi dada convenção explícita).
Pergunta a responder:
- Calcular \mathscr{F}_{c}(f) como função do parâmetro de frequência (vou chamar de \omega).]
Passo 2
Escolha da convenção e escrita da integral a calcular.
Aqui uso a convenção simples e comum para a transformada cosseno:
Verificação de consistência: a expressão obtida para \omega\neq0 tem singularidades aparentes em \omega=0, mas é uma singularidade removível; tomando o limite \omega\to0 (por série de Taylor de \sin e \cos ou por L’Hôpital repetido) recupera-se \tfrac{1}{3}. Assim a expressão é válida no sentido de extensão contínua em \omega=0.
Passo 8
Resumo final e observação prática. A transformada cosseno de f é a função de \omega dada nas fórmulas acima. Essa é a expressão que pode ser usada na prova; para \omega=0 basta lembrar que o valor é \tfrac{1}{3}.