Encontre
. Sugestão: use o Problema 5 da Seção 11.7.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre
. Ou seja:
- A função a transformar é
. - Preciso calcular a transformada cosseno dessa função (como função da variável de frequência, que chamarei de
).
Anotação importante (definição que vou usar): vou tomar a transformada cosseno como a função
isto é, a transformada cosseno sobre o intervalo
. (Essa escolha é a mais natural aqui porque o integrando contém
e o problema sugere usar um resultado do tipo integral com
; essa definição coincide com a usada no Problema 5 da Seção indicada.)
Passo 2
Escrevo explicitamente a transformada que quero:
A ideia é usar a identidade produto-para-soma para remover o produto de cossenos e reduzir a integral a integrais do tipo
, que aparecem no Problema 5 citado.
Produto-para-soma:
Aplicando com
e
obtemos
Portanto
Passo 3
Defino a integral auxiliar, para
,
Assim
Agora vou calcular
. Uso a identidade de decomposição parcial
logo
Faço mudanças de variável para combinar essas duas integrais em integrais do tipo
e
, que se expressam através das funções integrais seno e cosseno:
e
(com
a constante de Euler).
Procedimento (passo a passo):
- Na primeira integral, faça
. Então , , e quando vai de a , vai de a . Isso dá
Use a fórmula de soma de cossenos/senos:
Logo a primeira integral se escreve como
- Na segunda integral, faça
. Então , , e quando vai de a , vai de a . Assim
Somando as duas contribuições,
Mas as somas de integrais sobre
e
são integrals sobre
. Assim
Passo 4
Faço a mudança de variável
nas integrais. Se
,
Por definição da função
temos
.
Para a integral com
usamos a relação com
. Uma identidade útil (que evita problemas de divergência na origem) é
onde
é a constante de Euler. (Essa forma resulta da definição de
e da separação do termo singular
.)
Portanto, para
,
Substituindo em
obtemos a forma fechada
(A observação: o termo com
aparece isoladamente, mas quando combinarmos
e
esse termo em
vai se cancelar — ver próximo passo — e o resultado final ficará expresso apenas em termos de
e
.)
Passo 5
Agora coloco
em
:
Uso as identidades trigonométricas
e escrevo
. Substituindo a expressão de
para
e simplificando os termos em
(eles se cancelam), obtemos
Essa é uma expressão limpa em termos das funções integrais
e
.]