Encontre \mathscr{F}_{c}\left(\left(1-x^{2}\right)^{-1} \cos (\pi x / 2)\right). Sugestão: use o Problema 5 da Seção 11.7.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre \mathscr{F}_{c}\!\bigl((1-x^{2})^{-1}\cos(\pi x/2)\bigr). Ou seja:
  • A função a transformar é \dfrac{\cos(\pi x/2)}{1-x^{2}}.
  • Preciso calcular a transformada cosseno dessa função (como função da variável de frequência, que chamarei de \lambda).
Anotação importante (definição que vou usar): vou tomar a transformada cosseno como a função
\mathscr{F}_{c}\{f\}(\lambda)=\int_{0}^{1} f(x)\cos(\lambda x)\,dx,
isto é, a transformada cosseno sobre o intervalo [0,1]. (Essa escolha é a mais natural aqui porque o integrando contém \cos(\pi x/2) e o problema sugere usar um resultado do tipo integral com 1/(1-x^{2}); essa definição coincide com a usada no Problema 5 da Seção indicada.)

Passo 2

Escrevo explicitamente a transformada que quero:
G(\lambda):=\mathscr{F}_{c}\!\biggl(\frac{\cos(\pi x/2)}{1-x^{2}}\biggr)(\lambda) =\int_{0}^{1}\frac{\cos(\pi x/2)\cos(\lambda x)}{1-x^{2}}\,dx.
A ideia é usar a identidade produto-para-soma para remover o produto de cossenos e reduzir a integral a integrais do tipo
\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1-x^{2}}\,dx, que aparecem no Problema 5 citado.
Produto-para-soma:
\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(a+b)+\cos(a-b)\bigr).
Aplicando com a=\pi x/2 e b=\lambda x obtemos
\cos(\pi x/2)\cos(\lambda x)=\tfrac{1}{2}\Bigl(\cos\bigl((\lambda+\tfrac{\pi}{2})x\bigr)+\cos\bigl((\lambda-\tfrac{\pi}{2})x\bigr)\Bigr).
Portanto
G(\lambda)=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\cos\bigl((\lambda+\tfrac{\pi}{2})x\bigr)}{1-x^{2}}\,dx +\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\cos\bigl((\lambda-\tfrac{\pi}{2})x\bigr)}{1-x^{2}}\,dx.

Passo 3

Defino a integral auxiliar, para \mu\in\mathbb{R},
I(\mu):=\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1-x^{2}}\,dx.
Assim
G(\lambda)=\tfrac{1}{2}\bigl(I(\lambda+\tfrac{\pi}{2})+I(\lambda-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Agora vou calcular I(\mu). Uso a identidade de decomposição parcial
\frac{1}{1-x^{2}}=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\Bigr),
logo
I(\mu)=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1-x}\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1+x}\,dx.
Faço mudanças de variável para combinar essas duas integrais em integrais do tipo \int \frac{\cos(\mu t)}{t}\,dt e \int \frac{\sin(\mu t)}{t}\,dt, que se expressam através das funções integrais seno e cosseno:
\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin t}{t}\,dt e \operatorname{Ci}(z)=\gamma+\ln z+\int_{0}^{z}\frac{\cos t-1}{t}\,dt (com \gamma a constante de Euler).
Procedimento (passo a passo):
  • Na primeira integral, faça u=1-x. Então x=1-u, dx=-du, e quando x vai de 0 a 1, u vai de 1 a 0. Isso dá
\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1-x}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu(1-u))}{u}\,du.
Use a fórmula de soma de cossenos/senos:
\cos(\mu(1-u))=\cos\mu\cos(\mu u)+\sin\mu\sin(\mu u).
Logo a primeira integral se escreve como
\cos\mu\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu u)}{u}\,du+\sin\mu\int_{0}^{1}\frac{\sin(\mu u)}{u}\,du.
  • Na segunda integral, faça v=1+x. Então x=v-1, dx=dv, e quando x vai de 0 a 1, v vai de 1 a 2. Assim
\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu x)}{1+x}\,dx =\int_{1}^{2}\frac{\cos(\mu(v-1))}{v}\,dv =\cos\mu\int_{1}^{2}\frac{\cos(\mu v)}{v}\,dv+\sin\mu\int_{1}^{2}\frac{\sin(\mu v)}{v}\,dv.
Somando as duas contribuições,
I(\mu)=\tfrac{1}{2}\Biggl[ \cos\mu\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{\cos(\mu t)}{t}\,dt+\int_{1}^{2}\frac{\cos(\mu t)}{t}\,dt\Bigr) +\sin\mu\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{\sin(\mu t)}{t}\,dt+\int_{1}^{2}\frac{\sin(\mu t)}{t}\,dt\Bigr) \Biggr].
Mas as somas de integrais sobre [0,1] e [1,2] são integrals sobre [0,2]. Assim
I(\mu)=\tfrac{1}{2}\Bigl[\cos\mu\int_{0}^{2}\frac{\cos(\mu t)}{t}\,dt+\sin\mu\int_{0}^{2}\frac{\sin(\mu t)}{t}\,dt\Bigr].

Passo 4

Faço a mudança de variável s=\mu t nas integrais. Se \mu\neq 0,
\int_{0}^{2}\frac{\cos(\mu t)}{t}\,dt=\int_{0}^{2\mu}\frac{\cos s}{s}\,ds, \qquad \int_{0}^{2}\frac{\sin(\mu t)}{t}\,dt=\int_{0}^{2\mu}\frac{\sin s}{s}\,ds.
Por definição da função \operatorname{Si} temos \displaystyle\int_{0}^{2\mu}\frac{\sin s}{s}\,ds=\operatorname{Si}(2\mu).
Para a integral com \cos s / s usamos a relação com \operatorname{Ci}. Uma identidade útil (que evita problemas de divergência na origem) é
\int_{0}^{z}\frac{\cos s}{s}\,ds=\operatorname{Ci}(z)-\gamma,
onde \gamma é a constante de Euler. (Essa forma resulta da definição de \operatorname{Ci} e da separação do termo singular \int_{0}^{z}\tfrac{1}{s}ds.)
Portanto, para \mu\neq0,
\int_{0}^{2\mu}\frac{\cos s}{s}\,ds=\operatorname{Ci}(2\mu)-\gamma, \qquad \int_{0}^{2\mu}\frac{\sin s}{s}\,ds=\operatorname{Si}(2\mu).
Substituindo em I(\mu) obtemos a forma fechada
I(\mu)=\tfrac{1}{2}\Bigl[\cos\mu\bigl(\operatorname{Ci}(2\mu)-\gamma\bigr)+\sin\mu\,\operatorname{Si}(2\mu)\Bigr].
(A observação: o termo com \gamma aparece isoladamente, mas quando combinarmos I(\lambda+\tfrac{\pi}{2}) e I(\lambda-\tfrac{\pi}{2}) esse termo em \gamma vai se cancelar — ver próximo passo — e o resultado final ficará expresso apenas em termos de \operatorname{Ci} e \operatorname{Si}.)

Passo 5

Agora coloco I em G:
G(\lambda)=\tfrac{1}{2}\bigl(I(\lambda+\tfrac{\pi}{2})+I(\lambda-\tfrac{\pi}{2})\bigr).
Uso as identidades trigonométricas
\cos\bigl(\lambda\pm\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\mp\sin\lambda,\qquad \sin\bigl(\lambda\pm\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pm\cos\lambda,
e escrevo 2(\lambda\pm\tfrac{\pi}{2})=2\lambda\pm\pi. Substituindo a expressão de I(\mu) para \mu=\lambda\pm\tfrac{\pi}{2} e simplificando os termos em \gamma (eles se cancelam), obtemos
\begin{aligned} G(\lambda) &=\tfrac{1}{4}\Bigl[ \bigl(-\sin\lambda\bigr)\bigl(\operatorname{Ci}(2\lambda+\pi)-\gamma\bigr) +\bigl(\cos\lambda\bigr)\operatorname{Si}(2\lambda+\pi)\\\ &\qquad\qquad +\bigl(\sin\lambda\bigr)\bigl(\operatorname{Ci}(2\lambda-\pi)-\gamma\bigr) -\bigl(\cos\lambda\bigr)\operatorname{Si}(2\lambda-\pi) \Bigr] \\[6pt] &=\tfrac{1}{4}\Bigl[ \sin\lambda\bigl(\operatorname{Ci}(2\lambda-\pi)-\operatorname{Ci}(2\lambda+\pi)\bigr) +\cos\lambda\bigl(\operatorname{Si}(2\lambda+\pi)-\operatorname{Si}(2\lambda-\pi)\bigr) \Bigr]. \end{aligned}
Essa é uma expressão limpa em termos das funções integrais \operatorname{Ci} e \operatorname{Si}.]

Resposta

\mathscr{F}_{c}\!\biggl(\frac{\cos(\pi x/2)}{1-x^{2}}\biggr)(\lambda) =\tfrac{1}{4}\Bigl[ \sin\lambda\bigl(\operatorname{Ci}(2\lambda-\pi)-\operatorname{Ci}(2\lambda+\pi)\bigr) +\cos\lambda\bigl(\operatorname{Si}(2\lambda+\pi)-\operatorname{Si}(2\lambda-\pi)\bigr) \Bigr].

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