A transformada de Fourier de cossenos de x^{-1} \operatorname{sen} x existe? E de x^{-1} \cos x ? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformada de Fourier (no sentido da integral \widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\xi x}\,dx, interpretada se necessário como integral imprópria ou valor principal) existe para as duas funções
Informações importantes dadas / observações iniciais:
Ambas as funções têm singularidade em x=0 (comportamento \sim 1/x perto de zero).
Para |x|\to\infty ambas decaem como 1/|x| multiplicadas por uma oscilação (\sin x ou \cos x).
Devemos decidir em que sentido a transformada “existe”: absolutamente (integral de Lebesgue de |f| finita), como integral imprópria condicional (Riemann/principal value), ou só em sentido de distribuições. O enunciado pede justificativa, então vamos checar cada caso.
Passo 2
Verificar se são absolutamente integráveis (L^1(\mathbb R)). Mostro que nenhuma das duas é L^1, ou seja
e a série harmônica diverge, logo a integral diverge. Portanto nenhum dos dois está em L^1(\mathbb R) — não existe transformada absoluta.
Passo 3
Existência como integral imprópria condicional: ideia geral. Para mostrar que [\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e{-i\xi x}dx) converge condicionalmente, normalmente usamos testes de convergência condicional (ex.: critério de Dirichlet para integrais) ou reescrever f em termos de exponenciais e usar integrais de tipo \operatorname{p.v.}\int e^{-i\alpha x}/x\,dx. Vou seguir a segunda via, porque permite também obter a expressão explícita da transformada.
Recorde (resultado padrão, que aceitaremos aqui como ferramenta): para \alpha\in\mathbb R o integral de Cauchy principal (valor principal)
existe e vale -i\pi\,\operatorname{sgn}(\alpha), onde (\operatorname{sgn}(\alpha)=\begin{cases}+1,&\alpha>0,\\\ 0,&\alpha=0,\\\ -1,&\alpha<0.\end{cases}]
Uma forma de justificar heurística deste resultado é inserir um fator de amortecimento e^{-\varepsilon|x|}, calcular a integral e depois passar \varepsilon\downarrow0; o limite dá o valor acima (é um resultado clássico ligado à transformada de 1/x no sentido de valor principal / transformada de Hilbert).
Passo 4
Transformada de \displaystyle \frac{\sin x}{x}. Reescrevemos em termos de exponenciais:
Se |\xi|<1 então \operatorname{sgn}(\xi-1)=-1 e \operatorname{sgn}(\xi+1)=+1, logo \widehat f(\xi)=\pi.
Se |\xi|>1 (por exemplo \xi>1) então \operatorname{sgn}(\xi-1)=\operatorname{sgn}(\xi+1)=+1, logo \widehat f(\xi)=0.
Nas fronteiras \xi=\pm1 obtém-se o valor intermediário \widehat f(\pm1)=\pi/2 no sentido do valor principal / limite lateral.
Conclusão prática: a transformada existe como integral imprópria no sentido de valor principal (ou como transformada de função oscilatória) e resulta na função retangular
Para \xi<-1: \widehat g(\xi)=+i\pi.
Nos pontos \xi=\pm1 temos os valores de meia-altura no sentido do valor principal.
Importante: aqui existe uma dupla dificuldade para interpretar a integral direta:
Não é absolutamente integrável (mesma razão do passo 2).
Há uma singularidade em x=0 (comportamento \sim 1/x); a integral improper ordinária \int_{-\infty}^{\infty} sem usar valor principal não é bem definida por causa da singularidade em 0. Porém o cálculo acima mostra que, se interpretarmos a integral como Cauchy principal value (tanto na vizinhança de zero quanto nos infinitos), então a transformada existe e é a função imaginária por partes indicada. Em termos mais formais: \frac{\cos x}{x} tem transformada no sentido de valor principal / distribuição, mas não como integral absolutamente convergente nem como integral imprópria ordinária sem tomar principal value.
Passo 6
Resumo interpretativo (empático e prático para prova):
Para \displaystyle \frac{\sin x}{x} a transformada de Fourier existe como integral imprópria (condicional / valor principal) e é a função retangular de largura 2 e altura \pi: \widehat f(\xi)=\pi se |\xi|<1 e 0 se |\xi|>1 (com meia-altura nas fronteiras). Isso é o famoso par “retângulo ↔ sinc”.
Para \displaystyle \frac{\cos x}{x} não existe transformada como integral absolutamente convergente e a integral direta é mal comportada por causa da singularidade em 0. Contudo, interpretando a integral como Cauchy principal value (ou na teoria de distribuições), a transformada existe e é a função imaginária de degraus dada por
Para \displaystyle \frac{\cos x}{x}: não é absolutamente integrável e a integral ordinária é problemática por causa de x=0, mas existe no sentido de Cauchy principal value / distribuição, com