Obtenha \mathscr{F}_{c}^{-1}\left(e^{-w}\right) por integração.

Passo 1

O enunciado pede para obter \mathscr{F}_{c}^{-1}\!\left(e^{-w}\right) por integração.
Informações dadas:
  • A função no domínio das frequências é G(\omega)=e^{-\omega} (assumir \omega\ge 0, já que se trata da transformada cosseno).
  • Quer-se a função original f(x) recuperada pela inversa da transformada cosseno (variável espacial/temporal x; assumir x\ge0 para a função original no semi-eixo).

Passo 2

Vou usar a convenção padrão (sem fatores de \sqrt{2\pi}) que costuma aparecer em cursos de transformada cosseno:
F_c(\omega)=\int_{0}^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx,
e a inversa correspondente
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}F_c(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega.
Aqui:
  • f(x) é a função que queremos (definida para x\ge0);
  • F_c(\omega) é a transformada cosseno (função de \omega\ge0);
  • o fator \dfrac{2}{\pi} garante a inversão com esta convenção.
    Condição de convergência: se F_c(\omega) for integrável em [0,\infty) então a integral inversa converge (aqui e^{-\omega} é absolutamente integrável, portanto está tudo OK).

Passo 3

Aplicando a fórmula inversa com F_c(\omega)=e^{-\omega} obtemos
f(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\omega}\cos(\omega x)\,d\omega.
Nossa tarefa é calcular a integral
I(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-\omega}\cos(\omega x)\,d\omega,
com x\in\mathbb{R} (na prática interessa x\ge0).

Passo 4

Para avaliar I(x) uso a identidade \cos(\omega x)=\Re\big(e^{i\omega x}\big). Então
I(x)=\Re\left(\int_{0}^{\infty} e^{-\omega}e^{i\omega x}\,d\omega\right) =\Re\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i x)\omega}\,d\omega\right).
A integral exponencial converge porque \Re(1-i x)=1>0. Para s com \Re s>0 vale \int_{0}^{\infty} e^{-s\omega}\,d\omega=\dfrac{1}{s}. Aplicando com s=1-i x obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i x)\omega}\,d\omega=\frac{1}{1-i x}.
Tomando a parte real:
I(x)=\Re\!\left(\frac{1}{1-i x}\right).
Para extrair a parte real, multiplico numerador e denominador por 1+i x:
\frac{1}{1-i x}=\frac{1+i x}{(1-i x)(1+i x)}=\frac{1+i x}{1+x^{2}}.
Assim
I(x)=\Re\!\left(\frac{1+i x}{1+x^{2}}\right)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Voltando à expressão para f(x):
f(x)=\frac{2}{\pi}\,I(x)=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto a inversa da transformada cosseno de e^{-\omega} (na convenção usada) é f(x)=\dfrac{2}{\pi(1+x^{2})} para x\ge0. Observação prática: a transformada cosseno recupera a extensão par da função, então a mesma fórmula vale de forma par para x\in\mathbb{R} se for necessário (isto é, f(-x)=f(x)).

Resposta

\dfrac{2}{\pi(1+x^{2})}

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