Obtenha
por integração.
Passo 1
O enunciado pede para obter
por integração.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função no domínio das frequências é
(assumir , já que se trata da transformada cosseno). - Quer-se a função original
recuperada pela inversa da transformada cosseno (variável espacial/temporal ; assumir para a função original no semi-eixo).
Passo 2
Vou usar a convenção padrão (sem fatores de
) que costuma aparecer em cursos de transformada cosseno:
e a inversa correspondente
Aqui:
-
é a função que queremos (definida para ); -
é a transformada cosseno (função de ); - o fator
garante a inversão com esta convenção.
Condição de convergência: sefor integrável em então a integral inversa converge (aqui é absolutamente integrável, portanto está tudo OK).
Passo 3
Aplicando a fórmula inversa com
obtemos
Nossa tarefa é calcular a integral
com
(na prática interessa
).
Passo 4
Para avaliar
uso a identidade
. Então
A integral exponencial converge porque
. Para
com
vale
. Aplicando com
obtemos
Tomando a parte real:
Para extrair a parte real, multiplico numerador e denominador por
:
Assim
Passo 5
Voltando à expressão para
:
Portanto a inversa da transformada cosseno de
(na convenção usada) é
para
. Observação prática: a transformada cosseno recupera a extensão par da função, então a mesma fórmula vale de forma par para
se for necessário (isto é,
).