Considere f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}. Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) ( 0,5 ponto) determine o domínio da função;
(b) (0,5 ponto)calcule
\int_{0}^{1} f(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
e pede duas coisas: (a) o domínio de f e (b) o valor do integral impróprio
\int_{0}^{1}f(x)\,dx.
Para resolver, vamos usar o conceito de domínio de funções envolvendo raiz e divisão, e o cálculo de integrais impróprias.

Passo 2

Para achar o domínio de
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}},
precisamos que o radicando de \sqrt{x} seja não-negativo e que \sqrt{x}\neq 0 no denominador. Assim:
  1. x\ge 0 para \sqrt{x} existir como número real.
  2. x\neq 0 para não termos divisão por zero.
    Logo, o domínio é
(0,\infty).

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx
reconhecemos um integral impróprio porque o integrando fica singular em x=0. Escrevemos
\int_{0}^{1}x^{-\tfrac12}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-\tfrac12}\,dx.
A primitiva de x^{-\tfrac12} é
\int x^{-\tfrac12}\,dx =2\,x^{\tfrac12}.
Avaliar de \varepsilon a 1
\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[2\,x^{\tfrac12}\Bigr]_{\varepsilon}^{1} =\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(2\cdot1-2\,\varepsilon^{\tfrac12}\bigr) =2-0 =2.
Portanto, o integral converge e vale 2.

Resposta

(a) O domínio de f é (0,\infty).
(b) \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2.

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