Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o caso:
y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+20 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9y' + 20y = 0.
Aqui o conteúdo é solução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes, e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Adotamos a ansatz y=e^{rx}. Substituindo na equação, temos
r^2 e^{rx} - 9r e^{rx} + 20 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0, o que sobra é o polinômio característico
r^2 - 9r + 20 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 9r + 20 = 0
pelo discriminante, \Delta = (-9)^2 - 4\cdot1\cdot20 = 81 - 80 = 1. Logo
r = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2},
de onde obtemos as raízes reais e distintas
r_1 = 5, \quad r_2 = 4.

Passo 4

Para raízes reais distintas r_1 e r_2, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo r_1=5 e r_2=4, concluímos:

Resposta

y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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