(1,0 ponto) Seja a série
Verifique se a série em questão é convergente e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas. Para aplicá-lo, vamos definir o termo geral de módulo e verificar duas coisas:
- Se
é uma sequência positiva e monotonicamente decrescente para . - Se
.
Passo 2
Definimos
Para ver que
é decrescente, consideramos a função
Seu derivado é
logo
é decrescente e
também.
Passo 3
Calculamos o limite de
:
Assim,
satisfaz as condições do Teste de Leibniz: termos positivos, decrescentes e com limite zero.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz, a série alternada
converge. Como a convergência não depende do sinal, dizemos que ela é convergência condicional se falhar a absoluta.
Passo 5
Para ver que não converge absolutamente, analisamos
Aplicamos o Teste da Integral:
é conhecida como integral logarítmica, que diverge. Logo a série dos módulos diverge, e não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.