(1,0 ponto) Seja a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln (n)} .
Verifique se a série em questão é convergente e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}.
O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas. Para aplicá-lo, vamos definir o termo geral de módulo e verificar duas coisas:
  1. Se a_n = \frac{1}{\ln(n)} é uma sequência positiva e monotonicamente decrescente para n\ge2.
  2. Se \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{1}{\ln(n)},\quad n\ge2.
Para ver que (a_n) é decrescente, consideramos a função
f(x)=\frac{1}{\ln(x)},\quad x>1.
Seu derivado é
f'(x) = -\frac{1}{x\,(\ln(x))^2}<0\quad\text{para }x>1,
logo f é decrescente e a_n=f(n) também.

Passo 3

Calculamos o limite de a_n:
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n)} = 0.
Assim, (a_n) satisfaz as condições do Teste de Leibniz: termos positivos, decrescentes e com limite zero.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n a_n
converge. Como a convergência não depende do sinal, dizemos que ela é convergência condicional se falhar a absoluta.

Passo 5

Para ver que não converge absolutamente, analisamos
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^n}{\ln(n)}\Bigr| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
Aplicamos o Teste da Integral:
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{\ln(x)}
é conhecida como integral logarítmica, que diverge. Logo a série dos módulos diverge, e não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz, mas não converge absolutamente.

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