( 1,0 ponto) Verifique ser a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}}
é convergente. Para isto utilize os testes de convergência estudados.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\,2^{n}}.
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste da razão, que afirma: se
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| < 1,
então \sum a_n converge absolutamente.

Passo 2

Seja a_n = \tfrac{1}{n\,2^{n}}. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{1}{(n+1)\,2^{\,n+1}}}{\displaystyle\frac{1}{n\,2^{\,n}}} = \frac{n}{2\,(n+1)}.
Tomando o limite,
L = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2\,(n+1)} = \frac12 < 1.
Como L<1, a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n\,2^{n}} é convergente.

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